Если f(0)=1 и функция f(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1+x^2)f′(x)=1, то какое значение имеет f(1)?

Тема вопроса: Дифференциальные уравнения

Описание: Дифференциальное уравнение, заданное в задаче, имеет вид (1+x^2)f′(x)=1. В данном случае необходимо найти значение функции f(x) при x=1.

Для начала решим данное дифференциальное уравнение. Для этого сначала найдем производную функции f(x). Применимо правило дифференцирования произведения и степенной функции:

(1+x^2)f′(x)=1
f′(x) = 1 / (1+x^2)

Теперь интегрируем обе части уравнения. Для этого используем теорему о дифференцировании и интегрировании обратных функций:

∫f′(x) dx= ∫1 / (1+x^2) dx

Левая часть уравнения представляет собой интеграл от производной функции, который равен самой функции:

f(x) = ∫1 / (1+x^2) dx

Подставим пределы интегрирования, чтобы найти точное значение функции f(x) при x=1. Ответом будет:

f(1) = ∫[0,1] 1 / (1+x^2) dx

Вычисляя данный интеграл, можно найти значение функции f(1).

Демонстрация: Какое значение имеет функция f(1), если f(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1+x^2)f′(x)=1, а f(0)=1?

Совет: Для вычисления указанного интеграла можно использовать методику интегрирования по частям или подходящую замену переменных. При использовании подходящей замены переменных, можно перейти к интегралу, который может быть вычислен аналитически или с использованием таблицы интегралов. Обратите внимание на ограничение интегрирования, чтобы получить точное значение функции f(1).

Дополнительное задание: Найдите значение функции f(1), если f(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1+x^2)f′(x)=1, а f(0)=3.