Если a⫶c и b⫶c, то (a+b)⫶c Если (a−b)⫶c, то a⫶c и b⫶c Если (a−b)⫶c и a⫶c, то b⫶c Если a⫶c, то ab⫶c Если ab⫶c, то

Доказательство:

1) Пусть a⫶c и b⫶c. Это означает, что a и c имеют одинаковые остатки при делении на некоторое число d, и b и c также имеют одинаковые остатки при делении на число d. Поскольку сумма a и b равна (a+b), то (a+b) также будет иметь тот же остаток при делении на число d. Следовательно, (a+b)⫶c.

2) Пусть (a−b)⫶c. Это означает, что (a−b) и c имеют одинаковые остатки при делении на некоторое число d. Теперь докажем, что a⫶c и b⫶c. Предположим, что это не так. Это значит, что a и c имеют разные остатки при делении на число d, и b и c также имеют разные остатки при делении на число d. Тогда (a−b) будет иметь разные остатки при делении на число d, что противоречит условию. Следовательно, a⫶c и b⫶c.

3) Пусть (a−b)⫶c и a⫶c. Теперь докажем, что b⫶c. Предположим, что это не так. Значит, b и c имеют разные остатки при делении на число d. Из условия мы знаем, что a и c имеют одинаковые остатки при делении на число d. Тогда (a−b) будет иметь разные остатки при делении на число d, что противоречит условию. Следовательно, b⫶c.

4) Пусть a⫶c. Это означает, что a и c имеют одинаковые остатки при делении на некоторое число d. Рассмотрим произведение ab. Поскольку a и c имеют одинаковые остатки при делении на число d, то и ab будет иметь тот же остаток при делении на число d. Следовательно, ab⫶c.

5) Пусть ab⫶c. Это означает, что ab и c имеют одинаковые остатки при делении на некоторое число d. Разделим ab на a. Получим b. Поскольку ab и c имеют одинаковые остатки при делении на число d, то и a и b будут иметь тот же остаток при делении на число d. Следовательно, a⫶c и b⫶c.

Таким образом, мы доказали все утверждения.