Доведіть, що кут АВС рівний куту ВАС в трикутнику зі вершинами А(-4 1), В(0 1) і С(-2 7). Знайдіть довжину висоти

Геометрия: Равенство углов и высоты треугольника

Пояснение:
Чтобы доказать, что угол АВС равен углу ВАС, мы должны использовать геометрические свойства и координаты вершин треугольника.

Углы АВС и ВАС равны, если и только если их стороны параллельны. Для того чтобы доказать параллельность сторон треугольника, мы должны показать, что их коэффициенты наклона равны.

Коэффициент наклона между двумя точками можно найти с помощью формулы: m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек.

Используя координаты вершин А(-4, 1), В(0, 1) и С(-2, 7), мы можем вычислить коэффициенты наклона для сторон АВ и ВС.

mАВ = (1 - 1) / (0 - (-4)) = 0 / 4 = 0
mВС = (7 - 1) / (-2 - 0) = 6 / (-2) = -3

Коэффициенты наклона сторон АВ и ВС не равны, следовательно, они не параллельны. Таким образом, угол АВС не равен углу ВАС.

Чтобы найти длину высоты СД треугольника АВС, мы можем использовать формулу: h = |AC * sin(∠BAС)|, где AC - основание высоты, ∠BAС - угол между сторонами AB и AC.

Для нахождения основания AC, мы можем использовать координаты вершин А и С: AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек.

AC = √((-2 - (-4))^2 + (7 - 1)^2) = √(2^2 + 6^2) = √40 = 2√10

Для нахождения угла ∠BAС, мы можем использовать формулу косинусов: cos(∠BAС) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC), где AB, AC и BC - длины сторон треугольника.

BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек. В данном случае, BC = √((0 - (-2))^2 + (1 - 7)^2) = √(2^2 + 6^2) = √40 = 2√10

cos(∠BAС) = (4^2 + (2√10)^2 - (2√10)^2) / (2 * 4 * 2√10) = (16 + 40 - 40) / (8√10) = 16 / (8√10) = 2 / √10 = 2√10 / 10 = √10 / 5

sin(∠BAС) = √(1 - cos^2(∠BAС)) = √(1 - (√10 / 5)^2) = √(1 - 10 / 25) = √(1 - 2/5) = √(3/5) = √3 / √5 = √15 / 5

h = AC * sin(∠BAС) = 2√10 * (√15 / 5) = 2 * √(10 * 15) / 5 = 2 * √150 / 5 = √150 / 5 = √6 / 5

Таким образом, длина высоты СД треугольника АВС равна √6 / 5.

Совет:
Для лучшего понимания геометрических доказательств углов и длины высоты треугольника, рекомендуется изучить основные свойства углов и геометрических формул. Практика с использованием различных треугольников и вычислений может также помочь усвоить материал более глубоко.

Задание для закрепления:
В треугольнике PQR с координатами вершин P(2, 4), Q(-1, 7) и R(5, 9), найдите длину высоты, проведенной из вершины R к основанию PQ.