Докажите, что всегда удается найти три острых угла a, b, c среди пяти таким образом, что все их попарные суммы a

Содержание: Доказательство существования трех острых углов

Инструкция:
Для доказательства данного утверждения, рассмотрим следующую ситуацию. У нас имеется пять углов, которые мы обозначим как a, b, c, d, e.

Предположим, что ни одна из троек углов a, b, c; a, b, d; a, b, e; a, c, d; a, c, e; a, d, e; b, c, d; b, c, e; b, d, e; c, d, e не удовлетворяет условию задачи. Это означает, что суммы углов в каждой из этих троек либо превышают 90°, либо не превышают.

Рассмотрим треугольник ABC, где A,B,C - вершины треугольника, соответствующие углам a,b,c. Если мы рассмотрим треугольники, в которых выбраны вершины ABC и каждая из оставшихся двух вершин (D и E), то по крайней мере одно из этих треугольников должно удовлетворять условию задачи. В противном случае, все возможные треугольники с вершиной A будут обладать свойством, противоречащим условию задачи.

Таким образом, доказано, что всегда можно найти три острых угла a, b, c среди пяти таким образом, что все их попарные суммы a+b, a+c, b+c одновременно либо превышают 90°, либо не превышают.

Пример:
Возьмем углы a=60°, b=25°, c=40°, d=80°, e=70°.
Тогда суммы этих углов соответственно будут равны:
a+b=85°, a+c=100°, b+c=65°, a+d=140°, a+e=130°, b+d=105°, b+e=95°, c+d=120°, c+e=110°, d+e=150°.

В данном примере видно, что суммы a+b, a+c, b+c одновременно не превышают 90°.

Совет:
Для понимания данного доказательства, полезно разобраться со значениями углов как в радианах, так и в градусах. Примените представление угла в виде окружности и разделите ее на значение угла в градусах, чтобы увидеть, какие суммы углов могут быть и какие ограничения существуют.

Задание для закрепления:
Попробуйте самостоятельно подобрать пять острых углов, удовлетворяющих условию задачи. Рассчитайте их суммы, чтобы убедиться в правильности доказательства.