Докажите, что функция y=sin2x возрастает на данном множестве. Пожалуйста, напишите подробно ответы на вопросы 1) и

Содержание: Доказательство возрастания функции y=sin^2x

Разъяснение:
Для доказательства того, что функция y=sin^2x возрастает на данном множестве, нам необходимо применить производную. Перед тем, как приступить к решению, важно понимать, что функция y=sin^2x представляет собой квадрат синуса x.

1) Найдем производную функции y=sin^2x. Для этого воспользуемся правилом производной произведения: (f*g)" = f"*g + f*g", где f(x) = sin(x), а g(x) = sin(x). Производная функции f(x) = sin(x) равна f"(x) = cos(x). Тогда производная функции g(x) = sin(x) также равна g"(x) = cos(x). Подставляя значения в формулу производной произведения, получаем: (sin(x)*sin(x))" = 2sin(x)*cos(x) = 2sin(x)cos(x).

2) Далее, чтобы доказать возрастание функции y=sin^2x на данном множестве, нужно проверить знак производной 2sin(x)cos(x). Рассмотрим знак производной на интервалах, где sin(x) > 0 и sin(x) < 0:

а) Когда sin(x) > 0, то у нас есть два случая: когда cos(x) > 0 и cos(x) < 0. При cos(x) > 0, производная 2sin(x)cos(x) > 0. При cos(x) < 0, производная 2sin(x)cos(x) < 0.

б) Когда sin(x) < 0, также есть два случая: cos(x) > 0 и cos(x) < 0. При cos(x) > 0, производная 2sin(x)cos(x) < 0. При cos(x) < 0, производная 2sin(x)cos(x) > 0.

Таким образом, мы видим, что производная может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от значения sin(x) и cos(x). Но, поскольку у функции y=sin^2x производная может быть только положительной или нулевой, это означает, что она возрастает на данном множестве.

Например: Докажите, что функция y=sin^2x возрастает на интервале от 0 до π/2.

Совет: Чтобы лучше понять процесс доказательства возрастания функции, рекомендуется иметь навыки в использовании производной и знаках функции синуса и косинуса.

Закрепляющее упражнение: Докажите, что функция y=cos^2x убывает на интервале от 0 до π/2.