Докажите, что для всех целых чисел k и

Предмет вопроса: Докажите, что для всех целых чисел k и n (1 < n < k) сумма первых n натуральных чисел (1 + 2 + 3 + ... + n) равна произведению n и среднего арифметического числа k и n (n + k) / 2.

Объяснение: Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Базовый случай:
При n = 1, левая и правая части равны.
Левая часть: 1
Правая часть: (1+k)/2 = 1/2 + k/2 = k/2

Шаг индукции:
Предположим, что утверждение верно для некоторого n = m, где 1 < m < k.
То есть сумма первых m натуральных чисел равна m * (m + k) / 2.

Докажем, что утверждение будет верно и для n = m + 1.

Левая часть:
1 + 2 + 3 + ... + m + (m + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + m) + (m + 1) = m * (m + k) / 2 + (m + 1) = (m^2 + mk) / 2 + (m + 1)

Правая часть:
(m + 1) * (k + m) / 2 = (mk + m^2 + k + m) / 2 = (m^2 + mk + k + m) / 2 = (m^2 + mk) / 2 + (k + m) / 2 + m / 2

Теперь сравним левую и правую части:
(m^2 + mk) / 2 + (m + 1) = (m^2 + mk) / 2 + (k + m) / 2 + m / 2

Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:
(m^2 + mk) / 2 + (k + m) / 2 + m / 2 = (m^2 + mk + k + m + m) / 2 = (m^2 + 2mk + m + k) / 2 = (m + 1) * (k + m) / 2

Как видно, левая и правая части равны, что означает, что утверждение верно и для n = m + 1.

Таким образом, по индукции можно сделать вывод, что для всех целых чисел k и n (1 < n < k) сумма первых n натуральных чисел равна произведению n и среднего арифметического числа k и n (n + k) / 2.

Дополнительный материал:
Узнаем, верно ли утверждение для k = 5 и n = 4.

Левая часть: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Правая часть: 4 * (4 + 5) / 2 = 4 * 9 / 2 = 36 / 2 = 18

Так как левая и правая части не равны, то утверждение не верно для k = 5 и n = 4.

Совет:
Для лучшего понимания индукционного доказательства можно рассмотреть несколько начальных значений n и убедиться в верности утверждения.

Закрепляющее упражнение:
Для каких целых чисел k и n (1 < n < k) утверждение верно?