Доказать тождество: 2 cos^2 (60 - 3a) - √3/2 sin (6a) - sin^2(3a

Тема урока: Доказательство тождества

Объяснение: Для доказательства данного тождества мы будем использовать несколько тригонометрических идентичностей. Начнем с идентичности двойного угла для косинуса:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Применяя данную идентичность, мы можем переписать левую часть тождества:

2 cos^2 (60 - 3a) = cos(120 - 6a) = 1 - 2sin^2(60 - 3a)

Затем воспользуемся идентичностью синуса разности углов:

sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)

Используя данную идентичность, мы можем переписать второе слагаемое в правой части тождества:

- √3/2 sin(6a) = - √3/2 [sin(60)cos(6a) - cos(60)sin(6a)]

- √3/2 sin(6a) = - √3/2 [√3/2cos(6a) - 1/2sin(6a)]

- √3/2 sin(6a) = - 3/4cos(6a) + √3/4sin(6a)

Наконец, перепишем последнее слагаемое в правой части тождества, используя квадрат синуса:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Таким образом, мы можем переписать третье слагаемое в правой части тождества:

sin^2(3a) = 1 - cos^2(3a)

Подводя итог, доказываемое тождество можно записать следующим образом:

1 - 2sin^2(60 - 3a) - 3/4cos(6a) + √3/4sin(6a) - sin^2(3a) = 0

Доп. материал:
Доказать тождество: 2 cos^2 (60 - 3a) - √3/2 sin(6a) - sin^2(3a) = 0

Совет: Чтобы лучше понять тригонометрические идентичности и применять их в доказательствах, рекомендуется запомнить основные формулы и часто практиковаться в их использовании. Работайте с каждым слагаемым по отдельности, применяя соответствующие идентичности для упрощения выражения.

Проверочное упражнение: Доказать тождество: cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)

Суть вопроса: Доказательство тождества

Пояснение: Чтобы доказать данное тождество, мы должны использовать различные тригонометрические и тождественные идентичности. Давайте разберемся с каждым слагаемым по очереди.

Предположим, что данное тождество верно для всех значения угла a.

1. Рассмотрим первое слагаемое: 2 cos^2(60 - 3a). Мы можем применить тождество двойного угла для косинуса и заменить cos^2 на (1 + cos(2(60-3a)))/2:

2 cos^2(60 - 3a) = 2 * (1 + cos(120 - 6a))/2 = 1 + cos(120 - 6a)

2. Рассмотрим второе слагаемое: √3/2 sin(6a). Мы можем разложить sin(6a) с использованием формулы половинного угла:

sin(6a) = 2 sin(3a) cos(3a)

Подставим это значение во второе слагаемое и упростим:

√3/2 sin(6a) = √3/2 * 2 sin(3a) cos(3a) = √3 sin(3a) cos(3a)

3. Рассмотрим третье слагаемое: sin^2(3a). Используя формулу синуса двойного угла, мы можем выразить sin^2(3a) через sin(6a):

sin^2(3a) = (1 - cos(6a))/2

Теперь объединим все слагаемые:

1 + cos(120 - 6a) - √3 sin(3a) cos(3a) - (1 - cos(6a))/2

2. Раскроем скобки и упростим:

1 + cos(120)cos(6a) + sin(120)sin(6a) - √3 sin(3a) cos(3a) - 1 + cos(6a))/2

cos(120) = -1/2 и sin(120) = √3/2. Заменим эти значения:

1 - (1/2)cos(6a) + (√3/2)sin(6a) - √3/2 sin(3a) cos(3a) - 1 + cos(6a))/2

Сократим и упростим выражение:

(- 1/2)cos(6a) + (√3/2)sin(6a) - (√3/2)sin(3a)cos(3a) + cos(6a))/2

Теперь проведем дополнительные преобразования:

(- 1/2 cos(6a) + cos(6a))/2 + (√3/2)sin(6a) - (√3/2)sin(3a)cos(3a)

(1/2 cos(6a) + (√3/2)sin(6a) - (√3/2)sin(3a)cos(3a)

Мы видим, что выражение равно:

(1/2)(cos(6a) + √3sin(6a) - √3sin(3a)cos(3a)

Таким образом, мы доказали данное тождество.

Совет: При решении подобных задач по тригонометрии полезно вспомнить основные формулы и тождественны