Чему равен двойной интеграл от x^2y по прямоугольнику с ограничениями 3 ≤ x ≤ 6 и 0 ≤ y ≤ 2? a. 62 b. 126 c. 31

Тема: Двойной интеграл

Инструкция:
Для решения этой задачи нам потребуется вычислить двойной интеграл от функции x^2y по прямоугольнику с ограничениями 3 ≤ x ≤ 6 и 0 ≤ y ≤ 2.

Для начала, нам нужно записать интеграл с учетом указанных ограничений:

∬(3 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 2) x^2y dA

Для вычисления двойного интеграла нам нужно сначала найти значение интеграла по переменной y, а затем интегрировать это значение по переменной x в указанных пределах.

Интеграл по переменной y от x^2y равен:

∫(0 ≤ y ≤ 2) x^2y dy = (1/2) * x^2 * y^2 | (0 ≤ y ≤ 2)

Подставим пределы интегрирования:

(1/2) * x^2 * (2^2) - (1/2) * x^2 * (0^2) = 2x^2

Теперь мы можем проинтегрировать полученное значение по переменной x:

∫(3 ≤ x ≤ 6) 2x^2 dx = (2/3) * x^3 | (3 ≤ x ≤ 6)

Подставим пределы интегрирования:

(2/3) * (6^3) - (2/3) * (3^3) = 136

Таким образом, значение двойного интеграла от x^2y по указанному прямоугольнику равно 136.

Пример использования:
Двойной интеграл от x^2y по прямоугольнику с ограничениями 3 ≤ x ≤ 6 и 0 ≤ y ≤ 2 равен 136.

Совет:
При решении подобных задач важно внимательно следить за указанными пределами интегрирования и правильно выполнять последовательность интегрирования по переменным.

Упражнение:
Вычислите двойной интеграл от функции sin(xy) по прямоугольнику с ограничениями 0 ≤ x ≤ 3 и 0 ≤ y ≤ π.