а) В классе из 30 человек 20 учеников отличаются по физике, а 10 учеников - по математике. Сколько учеников в этом
а) В классе из 30 человек 20 учеников отличаются по физике, а 10 учеников - по математике. Сколько учеников в этом классе являются одновременно отличниками в физике и математике, если у 5 человек нет отличной оценки ни по одному из этих предметов?
б) В классе хуже дело обстоит с английским языком - всего 5 отличников. Если в классе имеется 12 отличников хотя бы по одному из этих предметов, то сколько учеников в этом классе являются отличниками и по английскому языку и по математике?
в) В классе только 2 человека получают отличные оценки по всем трём предметам. Сколько учеников в этом классе не получают отличные оценки ни по одному из этих предметов?
б) В классе хуже дело обстоит с английским языком - всего 5 отличников. Если в классе имеется 12 отличников хотя бы по одному из этих предметов, то сколько учеников в этом классе являются отличниками и по английскому языку и по математике?
в) В классе только 2 человека получают отличные оценки по всем трём предметам. Сколько учеников в этом классе не получают отличные оценки ни по одному из этих предметов?
18.11.2023 19:15
Написать свой ответ:
а) Для решения этой задачи используем множества. Пусть множество отличников по физике обозначим как "Ф", множество отличников по математике обозначим как "М", а множество учеников обозначим как "У".
По условию, |У| = 30, |Ф| = 20, |М| = 10, и пять человек не являются отличниками ни по физике, ни по математике. Пусть множество учеников, не являющихся отличниками ни по физике, ни по математике, обозначим как "Н".
Тогда |Н| = 5. Чтобы узнать количество учеников, которые являются одновременно отличниками и по физике, и по математике, нам нужно найти |Ф ∩ М| (пересечение множеств Ф и М).
Используя формулу включения-исключения: |Ф ∪ М| = |Ф| + |М| - |Ф ∩ М| и |У| = |Ф ∪ М| + |Н|, мы можем выразить |Ф ∩ М|:
|Ф ∩ М| = |Ф| + |М| - |У| + |Н|
Подставляем значения: |Ф ∩ М| = 20 + 10 - 30 + 5 = 5
Ответ: В этом классе 5 учеников являются одновременно отличниками и по физике, и по математике.
б) Пусть множество отличников по английскому обозначим как "А", и тогда мы знаем, что |А| = 5. Также известно, что в классе 12 отличников хотя бы по одному из предметов. Пусть множество учеников, не являющихся отличниками ни по английскому, ни по математике, обозначим как "Н".
Тогда |Н| = |У| - |А| = 30 - 12 = 18.
Нам нужно найти количество учеников, которые являются отличниками и по английскому, и по математике, то есть |А ∩ М|.
Мы можем использовать формулу включения-исключения: |А ∪ М| = |А| + |М| - |А ∩ М| и |У| = |А ∪ М| + |Н|, чтобы выразить |А ∩ М|:
|А ∩ М| = |А| + |М| - |У| + |Н|
Подставляем значения: |А ∩ М| = 5 + Х - 30 + 18 = 12, где Х - количество учеников, являющихся одновременно отличниками и по английскому, и по математике.
Решая уравнение, получаем Х = 29.
Ответ: В этом классе 29 учеников являются отличниками и по английскому, и по математике.
в) Пусть множество учеников, получающих отличные оценки по всем трём предметам, обозначим как "АМФ". По условию задачи, |АМФ| = 2.
Воспользуемся формулой включения-исключения: |Ф ∪ М ∪ А| = |Ф| + |М| + |А| - |Ф ∩ М| - |Ф ∩ А| - |М ∩ А| + |АМФ|.
Мы знаем, что |Ф ∩ М ∩ А| = |АМФ| = 2, и |Ф ∩ М ∩ АМФ| = 0 (по условию). Значит, |Ф ∩ А| = |М ∩ А| = 0.
Теперь мы можем выразить |У|, используя формулу: |У| = |Ф ∪ М ∪ А| - |Ф ∩ М ∩ А|.
Подставляя значения, получаем: |У| = |Ф| + |М| + |А| - |Ф ∩ М| - |Ф ∩ А| - |М ∩ А| + |АМФ| - |Ф ∩ М ∩ А| = 20 + 10 + 0 - 5 - 0 - 0 + 2 - 0 = 27.
Ответ: В этом классе 27 учеников.
Описание: В данной задаче нам необходимо использовать основы теории множеств и решения задач на вероятность.
а) Из условия известно, что в классе 30 учеников, из которых 20 отличаются по физике и 10 по математике. Предположим, что x учеников являются одновременно отличниками и по физике, и по математике. Также известно, что 5 человек не являются отличниками ни по одному из этих предметов. Исходя из этого, можем записать уравнение: $20 + 10 - x = 30 - 5$. Решая это уравнение, получаем: $x = 5$. Значит, в классе 5 учеников являются одновременно отличниками и по физике, и по математике.
б) Из условия известно, что в классе 5 отличников по английскому языку и общее число отличников - 12. Необходимо найти число учеников, которые являются отличниками и по английскому языку, и по математике. Предположим, что y учеников являются отличниками по обоим предметам. Можем записать уравнение: $5 + 12 - y = 30$. Решая это уравнение, получаем: $y = 13$. Значит, в данном классе 13 учеников являются отличниками и по английскому языку, и по математике.
в) В условии сказано, что только 2 человека получают отличные оценки по всем трём предметам. Значит, в этом классе 2 ученика являются отличниками и по физике, и по математике, и по английскому языку.
Совет: Для решения данного типа задач полезно использовать диаграмму Венна - графическое представление множеств, которое поможет наглядно выделить общие элементы.
Дополнительное упражнение: В классе из 40 учеников 25 пишут стихи, 15 читают романы, а 10 учеников и пишут стихи, и читают романы. Сколько учеников в данном классе не имеют интереса ни к письму стихов, ни к чтению романов?