а) Прокомментируйте выражение (корень кубический из (27 а^5/b^2)) умножить на корень кубический из (а*b^11/8

Тема урока: Алгебра - Работа с корнями

Разъяснение:
а) Для решения данной задачи мы можем использовать свойства корней. Начнем с первого выражения: корень кубический из (27 а^5/b^2). Мы знаем, что корень кубический из числа a равен a^(1/3). Применим это свойство к числу 27 а^5/b^2. Получаем (27 а^5/b^2)^(1/3), что равно (27)^(1/3) * (а^5)^(1/3) / (b^2)^(1/3). Далее, мы можем упростить каждый из этих корней: (27)^(1/3) равно 3, так как 3^3 = 27; (а^5)^(1/3) равно а^(5/3); (b^2)^(1/3) равно b^(2/3). Таким образом, мы получаем 3 * а^(5/3) / b^(2/3).

Теперь рассмотрим второе выражение: корень кубический из (а*b^11/8). Применим то же свойство: (а*b^11/8)^(1/3) равно (а^(1/3) * (b^11/8)^(1/3)). Упростим каждый из корней: а^(1/3) не меняется; (b^11/8)^(1/3) равно b^(11/24). Итак, получаем а^(1/3) * b^(11/24).

Теперь умножим два полученных выражения. Умножение а ^(p/3) * а^(q/3) равно а^((p+q)/3), и то же самое для b^((k+m)/n) * b^(l/n) равно b^((k+m+l)/n). Применим это свойство к выражению: (3 * а^(5/3) / b^(2/3)) * (а^(1/3) * b^(11/24)) равно 3 * а^((5/3)+(1/3)) * b^((11/24)-(2/3)). Упростим степени и получим: 3 * а^((5+1)/3) * b^((11-16)/24). Итак, наше итоговое выражение равно 3 * а^(6/3) * b^(-5/24). А также можно упростить это выражение, получив 3 * а^2 * b^(-5/24).

б) Рассмотрим второе выражение: корень четвертой степени из b делить на корень третьей степени из b, умноженный на корень из корня b^12. Мы знаем, что корень четвертой степени из числа a равен a^(1/4), а корень третьей степени из числа a равен a^(1/3). Применяя эти свойства к выражению, получим (b^(1/4)) / (b^(1/3)) * (b^(12)^(1/2)). Упростим: b^(1/4 - 1/3) * (b^(12)^(1/2)) = b^(-1/12) * (b^(6)) = b^(-1/12 + 6) = b^(71/12).

Например:
а) Выражение (корень кубический из (27 а^5/b^2)) умножить на корень кубический из (а*b^11/8) можно упростить до 3 * а^2 * b^(-5/24).

б) Выражение корень четвёртой степени из b делить на корень третьей степени из b, умноженный на корень из корня b^12 можно упростить до b^(71/12).

Советы:
- Внимательно изучайте свойства корней и их упрощения.
- Практикуйтесь в упрощении выражений с корнями, чтобы стать более уверенным в их применении.
- Обратите внимание на знаки степеней и дробей при упрощении выражений.
- Если вы сомневаетесь, примените свойства корней к каждому слагаемому и затем объедините их в одно выражение.

Упражнение:
Упростите выражение: корень третьей степени из (27*x^7 / y^4) умножить на корень третьей степени из (2*x^3 / 128)