а) Произведите разложение векторов а{3; 5; -7}, b{4; -1; 3}, c{0; 1; 8}, d{3; 0; 0} по координатным векторам

Разложение векторов по координатным векторам:

Пояснение: Чтобы произвести разложение вектора по координатным векторам, мы должны представить каждый вектор в виде суммы своих координат, умноженных на соответствующие единичные векторы. Единичные векторы обозначаются как i, j и k в трехмерном пространстве.

Шаг 1: Для вектора а{3; 5; -7} его разложение будет:
a = 3i + 5j - 7k

Шаг 2: Для вектора b{4; -1; 3} его разложение будет:
b = 4i - j + 3k

Шаг 3: Для вектора c{0; 1; 8} его разложение будет:
c = 0i + j + 8k

Шаг 4: Для вектора d{3; 0; 0} его разложение будет:
d = 3i + 0j + 0k

Найдите координаты векторов 2а, -3с, а+d, а+c+b:

а) 2а:
Умножим каждую координату вектора а на 2:
2а = 2(3i + 5j - 7k) = 6i + 10j - 14k

б) -3с:
Умножим каждую координату вектора с на -3:
-3с = -3(0i + j + 8k) = 0i - 3j - 24k

в) а+d:
Сложим соответствующие координаты векторов а и d:
а+d = (3i + 5j - 7k) + (3i + 0j + 0k) = (3+3)i + (5+0)j + (-7+0)k = 6i + 5j - 7k

г) а+c+b:
Сложим соответствующие координаты векторов а, c и b:
а+c+b = (3i + 5j - 7k) + (0i + j + 8k) + (4i - j + 3k) = (3+0+4)i + (5+1-1)j + (-7+8+3)k = 7i + 5j + 4k

Закрепляющее упражнение: Разложите вектор e{-2; 4; 6} по координатным векторам.

Тема: Разложение векторов

Пояснение:
Разложение вектора на координатные векторы заключается в представлении данного вектора как суммы его проекций на оси координат. Для этого можно использовать формулу разложения вектора:


Для каждого вектора a{3; 5; -7}, b{4; -1; 3}, c{0; 1; 8}, d{3; 0; 0} мы должны найти его проекции на оси x, y и z и представить их в виде суммы координатных векторов.

a = a_x * i + a_y * j + a_z * k
b = b_x * i + b_y * j + b_z * k
c = c_x * i + c_y * j + c_z * k
d = d_x * i + d_y * j + d_z * k

Пример:
a{3; 5; -7} = 3 * i + 5 * j + (-7) * k

Совет:
Для более лёгкого понимания концепции разложения векторов, рекомендуется визуализировать координатные векторы и их проекции на оси координат.

Дополнительное упражнение:
Проведите разложение векторов:
a{1; 2; -3}, b{0; -1; 4}, c{-2; 3; 6}, d{5; 0; 0}