а) Определите множество всех антипроизводных функции f(x)=3sin x. б) Найдите первообразную, график которой проходит

Название: Антипроизводная функции синуса и первообразная через заданную точку

Инструкция:

а) Чтобы найти множество всех антипроизводных функции f(x) = 3sin(x), нам нужно интегрировать данную функцию. Интегрирование синуса даст нам минус косинуса, а множитель 3 остается без изменений.

Итак, если мы обозначим антипроизводную функции f(x) как F(x), то получим: F(x) = -3cos(x) + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, множество всех антипроизводных функции f(x) = 3sin(x) будет представлено выражением: F(x) = -3cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.

б) Чтобы найти первообразную функции, график которой проходит через заданную точку M(П/2; 0), мы можем использовать общую формулу для первообразной и подставить координаты точки M в это выражение.

Таким образом, первообразная функции будет задана выражением: F(x) = -3cos(x) + C.

Чтобы найти постоянную интегрирования C, мы должны использовать условие, что график проходит через точку M(П/2; 0). Подстановка координат точки в выражение для первообразной дает нам следующее уравнение:

0 = -3cos(П/2) + C

Решая это уравнение, найдем значение постоянной C и получим окончательную первообразную функции, проходящую через точку M.

Демонстрация:

а) Множество всех антипроизводных функции f(x) = 3sin(x):
F(x) = -3cos(x) + C.

б) Первообразная функции, график которой проходит через точку M(П/2;0):
F(x) = -3cos(x) + C.

Совет:

При решении задач по нахождению антипроизводных и первообразных функций, не забывайте о произвольной постоянной интегрирования (C), которая возникает при интегрировании. Также, при решении задач на точку прохождения графика через конкретную точку, используйте условие исходной точки для определения значения постоянной C.

Практика:

Дана функция f(x) = 2cos(x). Найдите множество всех антипроизводных этой функции.

Содержание вопроса: Антипроизводная функции и первообразная

Пояснение:
Антипроизводная функции — это функция, производная которой равна исходной функции. Обозначается символом ∫. Для определения антипроизводной функции f(x)=3sin x мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна 3sin x.

a) Чтобы найти антипроизводную данной функции, мы знаем, что производная функции sin x равна cos x. Поэтому антипроизводная будет равна -3cos x + C, где C - произвольная постоянная.

б) Чтобы найти первообразную функцию, график которой проходит через точку M(П/2;0), мы используем полученный результат из пункта a). Подставляем значение x = П/2 и y = 0 в уравнение -3cos x + C и находим конкретное значение постоянной C:
0 = -3cos(П/2) + C
0 = -3 * 0 + C
C = 0

Таким образом, первообразная функции, график которой проходит через точку M(П/2;0), будет равна -3cos x.

Демонстрация:
а) Антипроизводная функции f(x)=3sin x равна -3cos x + C.
б) Первообразная функции, график которой проходит через точку M(П/2;0), равна -3cos x.

Совет:
Для лучшего понимания антипроизводной и первообразной функции, рекомендуется изучить основные правила дифференцирования и интегрирования, а также использовать специальные таблицы интегралов.

Дополнительное упражнение:
a) Найдите антипроизводную функции g(x) = 2cos x.
б) Найдите первообразную функции, график которой проходит через точку N(0;5).