а) Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a¯=−2m¯+n¯ и b¯=m¯+2n¯. б) Найдите

Тема: Геометрия векторов

Объяснение:
а) Для нахождения острого угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a¯ и b¯, нам нужно найти косинус угла между этими векторами.

Косинус угла между векторами можно найти, используя их скалярное произведение и длины:
cos θ = (a¯ · b¯) / (‖a¯‖ · ‖b¯‖)

Для начала, найдем скалярное произведение a¯ · b¯:
a¯ · b¯ = (-2m¯ + n¯) · (m¯ + 2n¯) = -2m¯ · m¯ + (-2m¯ · 2n¯) + (n¯ · m¯) + (n¯ · 2n¯)

Затем найдем длины векторов a¯ и b¯:
‖a¯‖ = √((-2)^2 + 1^2) = √(4 + 1) = √5
‖b¯‖ = √(1^2 + 2^2) = √(1 + 4) = √5

Теперь можем подставить все значения в формулу для cos θ:
cos θ = ((-2m¯ · m¯) + (-2m¯ · 2n¯) + (n¯ · m¯) + (n¯ · 2n¯)) / (√5 · √5)

б) Чтобы найти проекцию вектора b¯ на направление вектора a¯, мы используем формулу проекции:
proj(a¯, b¯) = (b¯ · a¯) / ‖a¯‖

Найдем скалярное произведение b¯ · a¯:
b¯ · a¯ = (m¯ + 2n¯) · (-2m¯ + n¯) = m¯ · (-2m¯) + m¯ · n¯ + (2n¯) · (-2m¯) + (2n¯) · n¯

Затем подставим значения в формулу для proj(a¯, b¯):
proj(a¯, b¯) = ((m¯ · (-2m¯) + m¯ · n¯ + (2n¯) · (-2m¯) + (2n¯) · n¯)) / ‖a¯‖

Пример:
а) Чтобы найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a¯ = -2m¯ + n¯ и b¯ = m¯ + 2n¯, мы используем формулу cos θ = ((-2m¯ · m¯) + (-2m¯ · 2n¯) + (n¯ · m¯) + (n¯ · 2n¯)) / (√5 · √5).

б) Чтобы найти проекцию вектора b¯ на направление вектора a¯, мы используем формулу proj(a¯, b¯) = ((m¯ · (-2m¯) + m¯ · n¯ + (2n¯) · (-2m¯) + (2n¯) · n¯)) / √5.

Совет: Чтобы легче понять геометрию векторов и работу с ними, важно постоянно практиковаться на конкретных задачах. Отрабатывайте навыки на похожих примерах, используя известные формулы и понимая их геометрический смысл.

Дополнительное упражнение:
а) Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a¯ = 3m¯ + 2n¯ и b¯ = 4m¯ - n¯.
б) Найдите проекцию вектора b¯ = 2m¯ + 3n¯ на направление вектора a¯ = m¯ - n¯.