а) Каковы координаты точки пересечения уравнений у = х+4 и у= - 2х+1? б) Какое уравнение окружности с центром в точке

Тема урока: Решение системы уравнений и уравнение прямой

Разъяснение:
a) Для нахождения точки пересечения уравнений у = х+4 и у= - 2х+1, необходимо приравнять значения уравнений и решить полученное уравнение относительно значения x. Проделаем это:
- Приравняем уравнения: х+4 = -2х+1.
- Перенесем все члены уравнения на одну сторону: х + 2х = 1 - 4.
- Скомбинируем подобные члены: 3х = -3.
- Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти значение x: х = -1.
- Подставим найденное значение х в любое из исходных уравнений, например, в у = х+4.
- Заменим х на -1: у = -1+4 = 3.
- Таким образом, точка пересечения уравнений будет иметь координаты (-1, 3).

b) Чтобы найти уравнение окружности с центром в точке О (a, b) и проходящей через точку В (x₁, y₁), используем формулу окружности: (x-a)² + (y-b)² = r², где r - радиус окружности. В данном случае, поскольку не дан радиус, мы можем найти его из уравнения расстояния между центром окружности и точкой В. Проделаем это:
- Расстояние между центром О и точкой В можно найти, используя формулу √(([x₁-a]²) + ([y₁-b]²)).
- Подставим известные значения: √(([2-a]²) + ([(-1)-b]²)).
- Так как точка В (2, -1) находится на окружности с центром О (a, b), расстояние между центром и точкой В равно радиусу окружности: r.
- Поэтому формула принимает вид: √(([2-a]²) + ([(-1)-b]²)) = r.
- Получаем уравнение окружности: (x-a)² + (y-b)² = ([√(([2-a]²) + ([(-1)-b]²))])².

c) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку В и параллельной прямой у = -2х+5, мы знаем, что параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Угловой коэффициент можно найти из уравнения y = mx +c, где m - угловой коэффициент, а c - свободный член уравнения. Проделаем это:
- Исходная прямая у = -2х+5 имеет угловой коэффициент -2.
- Точка В (x₁, y₁) проходит через параллельную прямую, поэтому ее уравнение будет иметь вид у = -2х + c, где x₁ и y₁ - координаты точки В, а c - свободный член.
- Подставим известные значения: -1 = -2·2 + c.
- Решим уравнение относительно c: -1 = -4 + c.
- Перенесем все члены уравнения на одну сторону: c = 3.
- Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку В и параллельной прямой у = -2х+5, будет выглядеть у = -2х + 3.

Доп. материал:
a) Найти точку пересечения уравнений у = х+4 и у= - 2х+1.
b) Найти уравнение окружности с центром в точке О и проходящей через точку В (2;-1).
c) Найти уравнение прямой, проходящей через точку В и параллельной прямой у = -2х+5.

Совет:
Для решения задач, связанных с координатами, уравнениями и графиками, полезно хорошо ознакомиться с базовыми понятиями алгебры, такими как угловой коэффициент, расстояние между двумя точками и формулы окружностей. Также очень полезно уметь переносить члены уравнения с одной стороны на другую и решать линейные уравнения.

Задача для проверки:
Решите следующую задачу: Найти точку пересечения уравнений у = 3х-2 и у= 2х+1.