Задача
9.2 Во время перемены в школе, школьники играли в настольный теннис. Каждый школьник играл с каждым другим школьником
9.2 Во время перемены в школе, школьники играли в настольный теннис. Каждый школьник играл с каждым другим школьником не более одной игры. В конце недели выяснилось, что Петя сыграл половину всех игр, Коля - треть, а Вася - пятую часть всех игр, проведенных за неделю. Сколько всего игр могло быть сыграно за неделю, если известно, что как минимум две игры не были сыграны ни Васей, ни Петей, ни Колей?
9.3 Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром в точке O (B и C - точки касания). Окружность, проходящая через точку B, касается прямой AC в точке A и пересекает отрезок AO в точке M. Докажите, что точка M лежит на прямой BC.
9.3 Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром в точке O (B и C - точки касания). Окружность, проходящая через точку B, касается прямой AC в точке A и пересекает отрезок AO в точке M. Докажите, что точка M лежит на прямой BC.
06.12.2023 14:12
Написать свой ответ:
Объяснение: Давайте разберемся пошагово. Пусть всего школьников было N. По условию задачи мы знаем, что Петя сыграл половину всех игр, то есть Петя сыграл N/2 игр. Коля сыграл треть всех игр, то есть Коля сыграл N/3 игр. Вася сыграл пятую часть всех игр, то есть Вася сыграл N/5 игр. Так как каждый школьник играет с каждым другим школьником не более одной игры, то мы можем составить уравнение: N/2 + N/3 + N/5 = N + 2. В этом уравнении N + 2 - это общее количество игр, проведенных за неделю, с учетом, что как минимум две игры не были сыграны ни Васей, ни Петей, ни Колей. Умножим обе части уравнения на 30 (наименьшее общее кратное 2, 3 и 5), чтобы избавиться от дробей: 15N + 10N + 6N = 30N + 60. Сокращаем: 31N = 30N + 60. Как видно из уравнения, N = 60. Подставляем обратно в исходную задачу и получаем ответ: 60 + 2 = 62.
Дополнительный материал: Всего было 62 игры.
Совет: Чтобы решить задачу, вы можете использовать метод пересечения множеств. Сначала найдите общие элементы множеств, а затем избавьтесь от дублирования, чтобы найти общее количество игр.
Задание: В школьной команде по футболу 23 игрока. Каждый игрок должен играть с каждым другим игроком не менее одного раза. Сколько всего матчей будет сыграно?
Объяснение: Для решения задачи посчитаем общее количество пар игроков, которые сыграли друг с другом: Петя сыграл половину всех игр, Коля - треть, а Вася - пятую часть всех игр. Пусть общее количество игр равно Х.
Тогда у нас возникнет следующая система уравнений:
Петя: X/2 игр
Коля: X/3 игр
Вася: X/5 игр
Из условия задачи также известно, что как минимум две игры не были сыграны ни Васей, ни Петей, ни Колей. То есть, количество пар игроков, которые сыграли друг с другом, не меньше 3. Поэтому, мы можем записать неравенство X ≥ 3.
Теперь решим систему уравнений и найдем значение X:
X/2 + X/3 + X/5 ≥ 3
Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю:
(15X + 10X + 6X)/30 ≥ 3
31X/30 ≥ 3
Умножим обе части неравенства на 30, чтобы избавиться от знаменателя:
31X ≥ 90
X ≥ 90/31
X ≥ 2.903
Поскольку X должно быть целым числом, округлим его до ближайшего большего целого числа:
X = 3
Таким образом, всего могло быть сыграно 3 игры за неделю.
Совет: Для решения задач, связанных с системами уравнений, всегда стоит начать с записи всех известных данных в виде уравнений. Затем решите систему уравнений, используя метод, который вам наиболее удобен (например, метод подстановки, метод исключения или метод определителей).
Ещё задача: В школьной группе было проведено голосование за двух кандидатов: А и Б. В результате голосования кандидат А получил на 34 голоса больше, чем кандидат Б. Если общее количество голосов составляет 120, найдите количество голосов, полученных каждым кандидатом.