1) What is the length of PK in the right triangle LPK with the right angle at P, given that LP = 48 and LK = 52? What

Подробное решение:

В прямоугольном треугольнике LPK с прямым углом в точке P дано, что LP = 48 и LK = 52.

Для нахождения длины одного из катетов можно воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: PK² = LP² + LK².

Подставим известные значения: PK² = 48² + 52².

Вычислим значение PK: PK = √(48² + 52²).

Чтобы найти радиус описанной окружности, можно воспользоваться формулой правильного треугольника, которая гласит, что радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: Радиус = PK / 2.

Таким образом, чтобы найти радиус, нужно разделить длину PK на 2.

Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой Пифагора: Площадь = (LP * LK) / 2.

Синус меньшего острого угла можно найти, разделив длину противоположного катета на длину гипотенузы: sin(меньший угол) = LP / PK.

Поскольку косинус большего острого угла равен синусу меньшего острого угла, мы можем использовать ту же формулу: cos(больший угол) = LP / PK.

Чтобы найти высоту, опущенную из гипотенузы, можно воспользоваться формулой для площади треугольника: Высота = (2 * Площадь) / гипотенуза.

Медиана KN делит гипотенузу LPK пополам, поэтому KN = PK / 2.

Медиана LQ делит сторону LP пополам, поэтому LQ = LP / 2.

Тангенс внешнего угла равняется отношению противолежащего катета к прилежащему катету: tan(внешний угол) = LP / LK.

Демонстрация:
1) Длина PK в треугольнике LPK с прямым углом в точке P равна \[вставьте свой ответ для PK\].
2) Радиус описанной окружности треугольника равен \[вставьте свой ответ для радиуса\].
3) Площадь треугольника LPK равна \[вставьте свой ответ для площади\].
4) Синус меньшего острого угла равен \[вставьте свой ответ для синуса\].
5) Косинус большего острого угла равен \[вставьте свой ответ для косинуса\].
6) Высота, опущенная из гипотенузы, равна \[вставьте свой ответ для высоты\].
7) Медиана KN равна \[вставьте свой ответ для медианы KN\].
8) Медиана LQ равна \[вставьте свой ответ для медианы LQ\].
9) Тангенс внешнего угла равен \[вставьте свой ответ для тангенса\].

Совет:
Для более детального понимания геометрии прямоугольных треугольников и его свойств, рекомендуется обратиться к учебнику по геометрии и внимательно изучить соответствующую главу. Решайте больше практических задач на прямоугольные треугольники, чтобы закрепить полученные знания.

Дополнительное упражнение:
Найдите длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в точке C, если сторона AB равна 20, а сторона BC равна 12. Определите также радиус описанной окружности треугольника и площадь треугольника.

Задача:
Дан прямоугольный треугольник LPK с прямым углом в точке P. Известно, что длина стороны LP равна 48, а стороны LK равна 52. Найти: 1) длину стороны PK; 2) радиус описанной окружности; 3) площадь треугольника; 4) синус меньшего острого угла; 5) косинус большего острого угла; 6) высоту, опущенную из гипотенузы; 7) медиану KN; 8) медиану LQ; 9) тангенс внешнего угла напротив угла K.

Решение:
1) Для нахождения длины стороны PK, мы можем использовать теорему Пифагора. В данном случае, сторона PK является гипотенузой прямоугольного треугольника LPK. Длина стороны PK будет равна квадратному корню из суммы квадратов длин сторон LP и LK.

PK = √(LP² + LK²) = √(48² + 52²) = √(2304 + 2704) = √5008 ≈ 70.71.

2) Чтобы найти радиус описанной окружности, мы можем использовать формулу, которая связывает радиус описанной окружности с длинами сторон прямоугольного треугольника.

Радиус описанной окружности = (LP * LK * PK) / (4 * площадь треугольника LPK).

В данном случае, площадь треугольника LPK будет равна половине произведения длин сторон LP и LK.

площадь треугольника LPK = (LP * LK) / 2 = (48 * 52) / 2 = 2496.

Радиус описанной окружности = (48 * 52 * 70.71) / (4 * 2496) ≈ 36.36.

3) Площадь треугольника LPK можно найти, используя формулу:

площадь треугольника LPK = (LP * LK) / 2 = (48 * 52) / 2 = 1248.

4) Синус меньшего острого угла можно найти, используя отношение противолежащей стороны (PK) к гипотенузе (LP).

синус меньшего острого угла = PK / LP = 70.71 / 48 ≈ 1.473.

5) Косинус большего острого угла можно найти, используя отношение прилежащей стороны (PK) к гипотенузе (LK).

косинус большего острого угла = PK / LK = 70.71 / 52 ≈ 1.359.

6) Чтобы найти высоту, опущенную из гипотенузы, мы можем использовать формулу:

высота = (LP * LK) / PK = (48 * 52) / 70.71 ≈ 35.97.

7) Медиана KN - это отрезок из вершины треугольника до середины противолежащей стороны. В данном случае, мы можем использовать теорему о медиане, которая гласит, что медиана равна половине длины гипотенузы.

медиана KN = PK / 2 = 70.71 / 2 = 35.35.

8) Медиана LQ - это отрезок из вершины треугольника до середины противолежащей стороны. В данном случае, медиана LQ будет равна половине длины гипотенузы.

медиана LQ = PK / 2 = 70.71 / 2 = 35.35.

9) Тангенс внешнего угла напротив угла K можно найти, используя формулу:

тангенс внешнего угла = противолежащая сторона (PK) / прилежащая сторона (LP - LK).

тангенс внешнего угла = PK / (LP - LK) = 70.71 / (48 - 52) = 70.71 / (-4) = -17.68.

Совет:
Для лучшего понимания геометрических задач, стройте рисунки, чтобы визуализировать данные и структуры треугольника. Используйте теорему Пифагора и тригонометрические соотношения при решении геометрических задач.

Проверочное упражнение:
Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 10, BC = 12 и угол BAC равен 60 градусов.