1. Скалярное произведение векторов ba•cb, oa•ob и cb•cd определено. Картинка 1. 2. Известно, что сторона клетки

Скалярное произведение векторов - это операция, которая возвращает число и определяется как произведение модулей векторов и косинуса угла между ними. Скалярное произведение обозначается точкой или через символ "•".

1. В задаче даны три вектора: ba, cb, oa, ob и cb, cd. Сначала найдем модули векторов:

|ba| = √(10^2 + 3^2) = √109,
|cb| = √(0^2 + 5^2) = 5,
|oa| = √(5^2 + 3^2) = √34,
|ob| = √(2^2 + 0^2) = 2,
|cb| = √(0^2 + 5^2) = 5,
|cd| = √(1^2 + 5^2) = √26.

Затем найдем косинусы углов между векторами:

cos(ba, cb) = (10*0 + 3*5) / (√109*5) = 15 / (√109*5),
cos(oa, ob) = (5*2 + 3*0) / (√34*2) = 10 / (√34*2),
cos(cb, cd) = (0*1 + 5*5) / (5 * √26) = 25 / (5 * √26).

И, наконец, вычислим скалярные произведения:

ba • cb = |ba| * |cb| * cos(ba, cb) = (√109) * 5 * (15 / (√109*5)) = 15,
oa • ob = |oa| * |ob| * cos(oa, ob) = (√34) * 2 * (10 / (√34*2)) = 10,
cb • cd = |cb| * |cd| * cos(cb, cd) = 5 * (√26) * (25 / (5 * √26)) = 25.

Ответ: ba • cb = 15, oa • ob = 10, cb • cd = 25.

2. На втором рисунке даны векторы C, D, B и U. Найдем модули векторов:

|CD| = √(5^2 + 5^2) = √50,
|BD| = √(0^2 + 5^2) = 5,
|DU| = √(5^2 + 3^2) = √34.

Вычисляем скалярные произведения:

C • D = |CD| * |BD| * cos(CD, BD) = (√50) * 5 * (0 / (√50 * 5)) = 0,
B • D = |BD| * |BD| * cos(BD, BD) = 5 * 5 * 1 = 25,
D • U = |CD| * |DU| * cos(CD, DU) = (√50) * (√34) * (5 / (√50 * √34)) = 5.

Ответ: C • D = 0, B • D = 25, D • U = 5.

3. На третьем рисунке даны векторы BC и DC. Найдем модули векторов:

|BC| = |DC| = 4.

Вычисляем скалярные произведения:

BC • DC = |BC| * |DC| * cos(BC, DC) = 4 * 4 * 1 = 16,
DC • CB = |DC| * |BC| * cos(DC, BC) = 4 * 4 * 1 = 16.

Ответ: BC • DC = 16, DC • CB = 16.

4. В задаче даны векторы → и →, представленные как →=3⋅→−2⋅→ и →=3⋅→+2⋅→. Найдем модули векторов:

| → | = | → | = 5.

Вычисляем скалярное произведение:

→ • → = | → | * | → | * cos( → , → ) = 5 * 5 * 1 = 25.

Ответ: → • → = 25.

Совет: Для вычисления скалярного произведения векторов, следует использовать формулу |a| * |b| * cos(α), где |a| и |b| - модули векторов, а α - угол между ними.

Задание для закрепления: Найдите скалярное произведение векторов AB • AC, если |AB| = 6 и |AC| = 8, а угол между ними составляет 60 градусов.