1. Представьте граф в виде набора вершин и ребер, как графически, так и матрично. Сделайте его плоским и определите

Название: Матрицы смежности и инцидентности в графах

Инструкция:
Граф представляет собой набор вершин и ребер, которые связывают эти вершины. Существует несколько способов представления графов: графически, матрично и списком. В данной задаче нам нужно представить граф в виде матрицы смежности и матрицы инцидентности.

Матрица смежности - это квадратная матрица, где каждый элемент указывает наличие связи между двумя вершинами. Если вершины i и j связаны, то элемент матрицы смежности a[i][j] принимает значение 1, в противном случае - 0. В нашем случае матрица смежности будет выглядеть следующим образом:

    1  2  3  4  5  6

1  0  1  1  0  0  0

2  0  0  1  0  0  0

3  1  1  0  0  0  1

4  0  1  0  0  1  1

5  0  0  0  1  0  0

6  0  0  1  1  0  0

Матрица инцидентности - это прямоугольная матрица, где каждый столбец соответствует ребру, а каждая строка - вершине. Если ребро i связано с вершиной j, то элемент матрицы инцидентности b[j][i] принимает значение 1, в противном случае - 0. В нашем случае матрица инцидентности будет выглядеть следующим образом:

    1  2  3  4  5  6

1  1  1  0  0  0  0

2  1  0  1  1  0  0

3  0  1  1  0  0  1

4  0  0  0  1  1  1

5  0  0  0  0  1  0

6  0  0  1  0  0  0

Плоский граф - это граф, в котором никакие два ребра не пересекаются. В нашем примере граф уже плоский.

Степень вершины - это количество ребер, связанных с данной вершиной. Для определения степени вершин воспользуемся матрицей смежности. Для каждой вершины посчитаем количество единиц в соответствующей строке. Результаты будут следующими:
- Вершина 1 имеет степень 2.
- Вершина 2 имеет степень 1.
- Вершина 3 имеет степень 3.
- Вершина 4 имеет степень 3.
- Вершина 5 имеет степень 1.
- Вершина 6 имеет степень 2.

Например:
Дан граф с вершинами V = {1; 2; 3; 4; 5; 6} и ребрами E = {(1; 2); (1; 3); (2; 3); (3; 1), (3; 6); (4; 2); (4; 5); (4; 6)}. Представьте его в виде матрицы смежности и матрицы инцидентности. Определите степени вершин и проверьте, является ли граф плоским.

Совет:
Чтобы лучше понять графическое представление графа, можно нарисовать его на бумаге, обозначив вершины и ребра. Это поможет визуализировать связи и легче работать с матрицами смежности и инцидентности. Также полезно запомнить, что степень вершины - это количество ребер, связанных с данной вершиной.

Задача для проверки:
Дан граф с вершинами V = {1; 2; 3; 4; 5} и ребрами E = {(1; 2); (1; 3); (2; 3); (4; 5)}. Представьте его в виде матрицы смежности и матрицы инцидентности. Определите степени вершин и проверьте, является ли граф плоским.

Графическое представление:
Для решения задачи, которую вы предложили, мы можем сначала визуализировать граф в виде рисунка. Пронумеруем вершины от 1 до 6 и соединим их линиями в соответствии с набором ребер E.

2-----4
/ \ / \
/ \ / \
1-----3-----6
\ /
\ /
5

Матричное представление:
Мы также можем представить граф в виде матрицы смежности. Матрица смежности - это квадратная матрица размером n x n, где n - количество вершин графа. Значение в i-й строке и j-м столбце будет равно 1, если есть ребро между i-й и j-й вершинами, и 0 в противном случае.

Матрица смежности для данного графа будет выглядеть следующим образом:

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
----- |---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
5 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
6 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |

Плоский граф:
Граф называется плоским, если его можно нарисовать на плоскости без пересечения ребер. Здесь мы можем видеть, что данный граф является плоским, потому что все его ребра были нарисованы без пересечения.

Степени вершин:
Степень вершины в графе равна количеству ребер, исходящих из этой вершины. Давайте определим степени для каждой вершины в данном графе:

Степень вершины 1: 2
Степень вершины 2: 2
Степень вершины 3: 3
Степень вершины 4: 3
Степень вершины 5: 1
Степень вершины 6: 2

Практика:
Найдите сумму степеней всех вершин в данном графе.