1) Определите координаты экстремумов и их значений для функции: у = 8x^2 - x^4/4. 2) Постройте график функции у

Функции:

Определение: Функция - это математическое правило, которое связывает каждое значение аргумента с единственным значением функции. В данном случае у нас есть две функции у = 8x^2 - x^4/4 и у = 6x - 2x^3.

1) Определение экстремумов:
Экстремумы - это значения функции, которые являются локальными максимумами или минимумами. Экстремумы определяются как точки, в которых изменение функции меняется с положительного на отрицательное или наоборот.

Для функции у = 8x^2 - x^4/4, чтобы найти экстремумы, нам нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю и вторая производная функции отрицательна.

Решение:
1. Найдем производную функции у = 8x^2 - x^4/4:
dy/dx = 16x - (4/4)x^3 = 16x - x^3

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
16x - x^3 = 0

Получим x(16 - x^2) = 0
Это даёт нам два значения x: x = 0 и x = 4.

3. Теперь найдем вторую производную функции:
d^2y/dx^2 = 16 - 3x^2

4. Подставим значения x = 0 и x = 4:
- При x = 0, d^2y/dx^2 = 16
- При x = 4, d^2y/dx^2 = -16

Значение и координаты экстремумов:
- При x = 0, y = 0, это минимум.
- При x = 4, y = 128, это максимум.

2) Построение графика:
Для функции у = 6x - 2x^3 мы можем построить график, используя координатную плоскость и точки на графике, соответствующих значениям функции для различных значений x.

Совет:
Чтобы лучше понять функции и их экстремумы, полезно научиться находить производные функций и анализировать их значения.

Дополнительное упражнение:
1) Найдите экстремумы и их значения для функции у = x^3 + 6x^2 - 9x.
2) Постройте график функции у = 2x^2 + 4x - 3.