1. Определить интервалы, на которых функция возрастает и убывает. Найти точки экстремума для функции f(x) = x^3 + 4x^2

Содержание: Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума

Объяснение: Для определения интервалов возрастания и убывания функции нам необходимо проанализировать её производную. Если производная положительна на некотором интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если же производная отрицательна на интервале, то функция убывает на этом интервале. Точки экстремума функции - это точки, в которых функция меняет свой характер от возрастания к убыванию или наоборот.

Для нахождения интервалов и точек экстремума функции f(x) = x^3 + 4x^2, сначала найдем её производную. Производная функции равна f"(x) = 3x^2 + 8x. После этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x^2 + 8x = 0

Полученное квадратное уравнение разложим на множители:

x(3x + 8) = 0

Таким образом, точки, где функция может иметь экстремумы, равны x = 0 и x = -8/3.

После этого мы можем построить таблицу знаков производной на интервалах:

| | (-∞, -8/3) | (-8/3, 0) | (0, +∞) |
|----------|------------|-----------|---------|
| f"(x) | - | + | + |
| f(x) | убывает | возрастает | возрастает |

Из таблицы видно, что функция убывает на интервале (-∞, -8/3), возрастает на интервале (-8/3, 0) и также возрастает на интервале (0, +∞).

Таким образом, интервалы возрастания функции f(x) = x^3 + 4x^2: (-8/3, 0) и (0, +∞). Интервалы убывания отсутствуют. Точки экстремума: x = 0 и x = -8/3.

Совет: Чтобы лучше понять, как работает анализ интервалов возрастания и убывания функции, вы можете нарисовать график функции на координатной плоскости и использовать его в качестве визуального подтверждения ваших расчетов.

Упражнение: Определите интервалы возрастания и убывания, а также найдите точки экстремума для функции g(x) = 2x^4 - 3x^3 - 12x^2 + 4x.