1. Найдите значение косинуса угла при вершине в равнобедренном треугольнике, если синус угла при основании равен

Тригонометрия:
1. Объяснение: Чтобы найти значение косинуса угла в равнобедренном треугольнике, необходимо знать значение синуса угла при основании. Для этого можно воспользоваться следующей формулой: косинус угла равен квадрату корня из единицы минус квадрат синуса угла. Исходя из условия, синус угла при основании равен 1/3. Подставим это значение в формулу. Таким образом, мы получаем: косинус угла равен корню из единицы минус (1/3)^2. Дальше нужно скорректировать знак у корня (так как косинус отрицательный в равнобедренном треугольнике) и рассчитать значение. Получается, косинус угла равен -√8/3.

Пример использования: Найдите значение косинуса угла в равнобедренном треугольнике, если синус угла при основании равен 1/4.

Совет: Для лучшего понимания работы с тригонометрическими функциями, рекомендуется изучить основные формулы и свойства тригонометрии. Также полезно знать соотношения между значениями синуса, косинуса и других тригонометрических функций.

Упражнение: Найдите значение косинуса угла в равнобедренном треугольнике, если синус угла при основании равен 1/6.

2. Объяснение: Чтобы получить формулы для тройного угла, можно воспользоваться формулами половинного угла и двойного угла. Для синуса тройного угла существует следующий вывод:

а) sin3α = sin(2α + α) = sin2α*cosα + sinα*cos2α = (2sinα*cosα)*cosα + (1 - 2sin^2α)*sinα = 2sinα*cos^2α + sinα - 2sin^3α = 3sinα - 4sin^3α.

б) cos3α = cos(2α + α) = cos2α*cosα - sin2α*sinα = (1 - 2sin^2α)*cosα - (2sinα*cosα)*sinα = cosα - 2sin^2α*cosα - 2sinα*cos^2α = 4cos^3α - 3cosα.

в) tg3α = tg(2α + α) = (tg2α + tgα)/(1 - tg2α*tgα) = (2tgα/(1 - tg^2α) + tgα)/(1 - (2tgα/(1 - tg^2α))*tgα) = (3tgα - tg^3α)/(1 - 3tg^2α).


Пример использования: Выведите формулу для тройного угла синуса: sin3α.

Совет: Чтобы лучше понять процесс вывода формулы, рекомендуется углубиться в изучение формул для половинного и двойного углов. Это позволит легче понять логику и шаги вывода формулы для тройного угла.

Упражнение: Выведите формулу для тройного угла косинуса: cos3α.

3. Объяснение: Чтобы доказать равенства, можно воспользоваться тригонометрическими формулами и свойствами. Для доказательства первого равенства, можно воспользоваться формулой произведения косинусов двух углов: cos(α + β) = cosα*cosβ - sinα*sinβ. Исходя из этого, можно переписать равенство следующим образом: cos(π/5)*cos(2π/5) = (cos(π/5))^2 - (sin(π/5))^2. Подставим значения косинусов и синусов углов и упростим выражение. В итоге получим: 1/4 = 1/4.

Для доказательства второго равенства, можно воспользоваться формулой произведения синусов двух углов: sin(α + β) = sinα*cosβ + cosα*sinβ. Исходя из этого, перепишем равенство следующим образом: cos(20°)*cos(40°)*cos(80°) = sin(20°)*sin(80°)/sin(40°). Подставим значения и упростим выражение. В итоге получим: 1/8 = 1/8.

Пример использования: Докажите, что cos(π/6)*cos(π/3) = 1/8.

Совет: Для лучшего понимания процесса доказательства тригонометрических равенств, рекомендуется изучить основные формулы и свойства тригонометрии. Также полезно вспомнить соотношения между значениями косинуса, синуса и других тригонометрических функций.

Упражнение: Докажите, что cos(π/4)*cos(π/2) = 1/4.