1. Найдите коэффициент наклона касательной, проведенной к кривой y=x^3 в точке C(-2;-8). 2. Кривая представлена

Содержание вопроса: Касательные и их коэффициенты наклона

Инструкция:
Касательная - это прямая, которая касается кривой в определенной точке и имеет одинаковое направление склона с этой кривой в данной точке.

1. Для нахождения коэффициента наклона касательной к кривой y=x^3 в точке C(-2;-8) используется производная функции y=x^3:
y" = 3x^2
Теперь подставим координаты точки C в выражение для производной:
y"(-2) = 3(-2)^2 = 3 * 4 = 12
Значение производной в точке C равно 12, следовательно, коэффициент наклона касательной равен 12.

2. Для определения углов наклона касательных к кривой y=x^2+5x+3 в точках с абсциссами x = -2 и x = 0 нужно найти значения производной функции в данных точках. Производная функции y=x^2+5x+3:
y" = 2x + 5
Подставляя значения x = -2 и x = 0 в выражение для производной, получаем:
y"(-2) = 2(-2) + 5 = 1
y"(0) = 2(0) + 5 = 5
Таким образом, угол наклона касательной в точке с x = -2 равен 1, а в точке с x = 0 равен 5.

3. Для нахождения точки на кривой y=4x^2-6x+3, в которой касательная параллельна прямой y=2x, нужно найти значения x, при которых коэффициент наклона касательной равен 2.
Так как касательная параллельна прямой y=2x, то коэффициент наклона касательной должен быть равен 2. Рассмотрим производную функции y=4x^2-6x+3:
y" = 8x - 6
Прировняем производную к 2 и решим уравнение:
8x - 6 = 2
8x = 8
x = 1
Таким образом, точка с x = 1 на кривой y=4x^2-6x+3 имеет касательную параллельную прямой y=2x.

4. а) Для нахождения точки на кривой y=x^2-1, в которой касательная параллельна оси 0x, достаточно найти точку, где производная равна нулю.
Рассмотрим производную функции y=x^2-1:
y" = 2x
Для того чтобы касательная была параллельна оси 0x, коэффициент наклона должен быть равен нулю. Решим уравнение:
2x = 0
x = 0
Таким образом, точка с x = 0 на кривой y=x^2-1 имеет касательную, параллельную оси 0x.

б) Для нахождения точки на кривой y=x^2-1, в которой касательная образует угол 45 градусов с осью y, нужно найти точку, где производная равна 1.
Рассмотрим производную функции y=x^2-1:
y" = 2x
Для того чтобы угол наклона с осью y составил 45 градусов, коэффициент наклона должен быть равен 1. Решим уравнение:
2x = 1
x = 1/2
Таким образом, точка с x = 1/2 на кривой y=x^2-1 имеет касательную, образующую угол 45 градусов с осью y.

5. Для нахождения абсциссы точки на параболе y=-x^2+x+3/4, в которой касательная параллельна оси абсцисс, нужно найти значение x, при котором производная равна нулю.
Рассмотрим производную функции y=-x^2+x+3/4:
y" = -2x + 1
Для того чтобы касательная была параллельна оси абсцисс, коэффициент наклона должен быть равен нулю. Решим уравнение:
-2x + 1 = 0
-2x = -1
x = 1/2
Таким образом, абсцисса точки на параболе y=-x^2+x+3/4, в которой касательная параллельна оси абсцисс, равна 1/2.

Совет:
Для более глубокого понимания материала о касательных и их коэффициентах наклона рекомендуется изучать дифференциальное исчисление и основы аналитической геометрии. Также полезно знать основные свойства и формулы, связанные с касательными и производными. Практика в решении задач поможет закрепить полученные знания и навыки.

Задание:
Найдите коэффициент наклона касательной к функции y = -3x^2 - 2x + 4 в точке P(2; -10).