1. Каково математическое ожидание и дисперсия числа гербов в результате 7 бросков монеты? 2. Какова дисперсия случайной

Тема: Математическое ожидание и дисперсия случайных величин

1. Объяснение:
Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины - это среднее значение, которое мы ожидаем получить при многократном повторении эксперимента. Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

1. Для решения задачи о числе гербов в результате 7 бросков монеты, мы знаем, что вероятность выпадения герба в одном броске равна 0,5. Так как герб может выпасть или не выпасть в каждом броске, число гербов будет случайной величиной, подчиненной биномиальному распределению.
Математическое ожидание для биномиального распределения равно n * p, где n - число испытаний (в данном случае 7), а p - вероятность успеха (в данном случае 0,5).
Таким образом, математическое ожидание для данной задачи равно 7 * 0,5 = 3,5.
Дисперсия для биномиального распределения равна n * p * (1 - p).
Дисперсия для данной задачи равна 7 * 0,5 * (1 - 0,5) = 1,75.

2. Объяснение:
Для решения задачи о дисперсии случайной величины X, представляющей количество очков при броске игрального кубика, нам нужно знать вероятности для каждого возможного значения случайной величины.
У игрального кубика есть 6 граней, на каждой из которых находится число от 1 до 6. Каждой грани соответствует вероятность выпадения, равная 1/6.
Для нахождения дисперсии мы используем формулу: дисперсия = сумма (значение - математическое ожидание)^2 * вероятность
Математическое ожидание для данной задачи равно сумме произведений каждого значения на его вероятность, то есть (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + ... + (6 * 1/6) = 3,5.
Теперь мы можем вычислить дисперсию, используя формулу:
дисперсия = (1-3,5)^2 * 1/6 + (2-3,5)^2 * 1/6 + ... + (6-3,5)^2 * 1/6 = (1,5^2 + 0,5^2 + ... + 2,5^2) * 1/6 = 2,92.

3. Объяснение:
Для решения задачи о числе бракованных изделий в партии из 5000 изделий, мы используем биномиальное распределение со следующими данными:
n - количество испытаний (5000)
p - вероятность брака (0,02).
Математическое ожидание для биномиального распределения равно n * p, где n - количество испытаний (5000), а p - вероятность успеха (0,02).
Таким образом, математическое ожидание для данной задачи равно 5000 * 0,02 = 100.
Дисперсия для биномиального распределения равна n * p * (1 - p).
Дисперсия для данной задачи равна 5000 * 0,02 * (1 - 0,02) = 98.

4. Объяснение:
Центральные моменты - это числовые характеристики случайной величины, которые описывают ее форму. Центральный момент первого порядка равен 0, так как это математическое ожидание. Центральный момент второго порядка - это дисперсия. Центральные моменты третьего и четвертого порядков вычисляются с помощью формулы:
Центральный момент третьего порядка = (x1-μ)^3*p1 + (x2-μ)^3*p2 + ...
Центральный момент четвертого порядка = (x1-μ)^4*p1 + (x2-μ)^4*p2 + ...
где xi - значения случайной величины, μ - математическое ожидание, pi - вероятность каждого значения.
В данной задаче задан закон распределения:
X: 3 5, Р: 0,2 0,8
Математическое ожидание μ = 3*0,2 + 5*0,8 = 4,6.
Дисперсия = (3-4,6)^2*0,2 + (5-4,6)^2*0,8 = 0,8.
Центральный момент третьего порядка = (3-4,6)^3*0,2 + (5-4,6)^3*0,8 = -0,1024.
Центральный момент четвертого порядка = (3-4,6)^4*0,2 + (5-4,6)^4*0,8 = 1,2484.

Пример использования:
1. Для задачи №1: Если вам дали брошенные монеты, вы можете ожидать, что в результате 7 бросков количество гербов составит в среднем 3,5, а значения будут варьироваться в пределах примерно 1,75.
2. Для задачи №2: Если вы бросаете игральный кубик, количество очков, которые могут выпасть, будет иметь математическое ожидание около 3,5, а разброс значений будет составлять примерно 2,92.
3. Для задачи №3: Если в партии из 5000 изделий вероятность брака составляет 0,02, то число бракованных изделий в среднем будет около 100, а дисперсия составит около 98.
4. Для задачи №4: Для заданного закона распределения случайной величины X, можно найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков, которые будут соответственно равны 4,6, 0,8, -0,1024 и 1,2484.

Совет: Для более глубокого понимания математического ожидания и дисперсии, рекомендуется посмотреть видеоуроки или прохождение теории вероятностей и математической статистики.

Упражнение: Вы участвуете в лотерее, где выбираете случайное число от 1 до 100. Каково математическое ожидание и дисперсия вашего выигрыша, если вероятность выигрыша равна 0,01, а выигрыш составляет 1000 рублей?