Движение материальной точки
1. Какое расстояние прошла материальная точка за 2 секунды, если ее скорость описывается формулой v(t) = 2t^3 - 4t^2
1. Какое расстояние прошла материальная точка за 2 секунды, если ее скорость описывается формулой v(t) = 2t^3 - 4t^2 + 2?
2. Какой путь пройдет точка за период времени от 2 до 7 секунд, двигаясь по прямой со скоростью v(t) = 2 + 1/√(t+2)?
3. При заданном уравнении скорости v = 24t - 6t^2, вычислите путь точки, движущейся прямолинейно, от начальной точки до остановки.
4. Если для растяжения пружины на 1 см требуется сила в 10 Н, то какая работа будет совершена при сжатии этой пружины на 6 см?
5. Как изменяется линейная плотность неоднородного стержня в зависимости от его длины, если она описывается законом ρ(l) = 8?
2. Какой путь пройдет точка за период времени от 2 до 7 секунд, двигаясь по прямой со скоростью v(t) = 2 + 1/√(t+2)?
3. При заданном уравнении скорости v = 24t - 6t^2, вычислите путь точки, движущейся прямолинейно, от начальной точки до остановки.
4. Если для растяжения пружины на 1 см требуется сила в 10 Н, то какая работа будет совершена при сжатии этой пружины на 6 см?
5. Как изменяется линейная плотность неоднородного стержня в зависимости от его длины, если она описывается законом ρ(l) = 8?
22.12.2023 22:08
Написать свой ответ:
Пояснение:
1. Чтобы найти расстояние, пройденное материальной точкой за 2 секунды, мы должны интегрировать скорость по времени в интервале от 0 до 2. В данном случае, у нас предоставлена функция скорости v(t) = 2t^3 - 4t^2 + 2. Проинтегрировав эту функцию, мы получим функцию пути s(t) = 1/2t^4 - 4/3t^3 + 2t + C, где C - постоянная интегрирования. Подставив значения времени от 0 до 2 в функцию пути, получим начальную точку, от которой должен быть отсчитан путь, и точку, в которой должен остановиться материальная точка. Итак, путь, пройденный материальной точкой за 2 секунды, будет равен s(2) - s(0).
2. По аналогии с первой задачей, чтобы найти путь, пройденный материальной точкой за период времени от 2 до 7 секунд, мы должны проинтегрировать функцию скорости v(t) = 2 + 1/√(t+2) по времени в интервале от 2 до 7. Проинтегрировав данную функцию, мы получим функцию пути s(t) = 2t + 2√(t+2) + C. Подставив значения времени от 2 до 7 в функцию пути, получим начальную точку и конечную точку, от которых будет отсчитываться путь.
3. В данной задаче уже дано уравнение скорости материальной точки v = 24t - 6t^2. Чтобы найти путь точки, движущейся прямолинейно, от начальной точки до остановки, мы должны интегрировать уравнение скорости по времени в интервале от t1 до t2, где t1 - время начала движения, а t2 - время остановки. Проинтегрировав уравнение скорости, мы получим функцию пути s(t) = 12t^2 - 2t^3 + C. Подставив значения времени t1 и t2 в функцию пути, получим начальную точку и конечную точку, от которых будем отсчитывать путь.
4. Работу можно найти, используя формулу работы W = F * d, где F - сила и d - перемещение. В данном случае, сила составляет 10 Н, а перемещение равно 6 см = 0,06 м. Подставив эти значения в формулу, получим работу, совершенную при сжатии пружины на 6 см.
5. Линейная плотность неоднородного стержня может изменяться в зависимости от его длины. Чтобы выразить эту зависимость, нам необходимо знать, какая функция описывает эту зависимость, или соотношение между длиной и линейной плотностью. Без конкретных данных, мы не можем дать точный ответ на этот вопрос.
Демонстрация:
1. Для первой задачи, путь, пройденный материальной точкой за 2 секунды, будет равен s(2) - s(0), где s(t) = 1/2t^4 - 4/3t^3 + 2t + C.
2. Для второй задачи, путь, пройденный точкой за период времени от 2 до 7 секунд, будет равен s(7) - s(2), где s(t) = 2t + 2√(t+2) + C.
3. В третьей задаче, путь точки от начальной точки до остановки будет равен s(t2) - s(t1), где s(t) = 12t^2 - 2t^3 + C.
4. Для четвертой задачи, работа, совершенная при сжатии пружины на 6 см, будет равна W = F * d, где F = 10 Н и d = 0,06 м.
5. В пятой задаче не предоставлено достаточно информации, чтобы дать точный ответ.
Совет:
- Для понимания и решения задач по движению материальных точек, рекомендуется изучать основные формулы и уравнения, связанные с движением, такие как уравнения скорости, ускорения, и уравнения пути, а также формулы для нахождения работы и плотности. Регулярная практика в решении задач поможет вам лучше понять и запомнить эти концепции.
- В задачах, связанных с интегрированием, основная идея заключается в определении прироста и интегрировании этого прироста для получения окончательного результата. Помните, что константа интегрирования может быть использована, чтобы учесть начальные условия или произвольную точку отсчета.
- Использование графиков и визуализации может помочь визуальному пониманию движения материальных точек и его особенностей.
Задание:
Найдите путь, пройденный материальной точкой за период времени от 1 до 5 секунд, если скорость описывается формулой v(t) = 3t^2 - 4t + 1.