1. Какие значения x являются стационарными точками функции f(x)=x^5/5-4/3*x^3+9? 2. а) Где находятся экстремумы функции

Тема: Стационарные точки и экстремумы функций

Объяснение:
1. Стационарные точки функции f(x) можно найти, найдя корни уравнения f'(x) = 0, где f'(x) - производная функции f(x). В нашем случае, мы должны найти x, при которых производная f'(x) = 0. Ответом будут значения x, при которых f'(x) равно нулю.
2. а) Для поиска экстремумов функции f(x), мы должны найти корни уравнения f'(x) = 0 и проверить вторую производную f''(x) в этих точках. Если f''(x) > 0, то у нас есть локальный минимум, если f''(x) < 0, то у нас есть локальный максимум. Если f''(x) = 0, данный метод не даёт результата. б) Для функции f(x) = x^3 + 3/x - 12 сначала найдем значения x, при которых f'(x) = 0, затем проверим вторую производную f''(x).

3. Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции f(x), мы должны исследовать знак производной функции f'(x) на различных интервалах. Если f'(x) > 0, то функция возрастает, если f'(x) < 0, то функция убывает. Мы должны найти такие интервалы x, где f'(x) > 0 или f'(x) < 0.

4. Чтобы найти наибольшие и наименьшие значения функции f(x) на отрезке [0;3], мы должны найти критические точки функции внутри этого отрезка (путем нахождения корней уравнения f'(x) = 0) и сравнить значения функции в этих точках, а также значения функции на концах отрезка. Наибольшее значение будет максимальным из этих значений, а наименьшее значение - минимальным.

5. График функции f(x) можно нарисовать, следуя следующим шагам: а) нарисовать оси координат; б) построить точки пересечения с осями координат путем решения уравнения f(x) = 0; в) использовать информацию о знаке производной и второй производной для определения поведения графика в интервалах между корнями и вокруг точек экстремума; г) нарисовать график, подчеркивая его особенности, такие как пересечения с осями координат, экстремумы и изменение направления (возрастание/убывание) функции.

Пример использования:
1. a) Для функции f(x) = (x^5)/5 - (4/3)x^3 + 9, мы должны найти значения x, при которых f'(x) = 0. Производная функции f(x) равна f'(x) = x^4 - 4x^2. Решаем уравнение x^4 - 4x^2 = 0 и получаем корни x = 0 и x = ±2. Таким образом, стационарными точками функции будут x = 0 и x = ±2. б) Для функции f(x) = (3x^4) + (4x^3) - (12x^2) + 17, найдем значения x, при которых f'(x) = 0. Производная функции f(x) равна f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x. Решаем уравнение 12x^3 + 12x^2 - 24x = 0 и получаем корни x = 0, x = -1 и x = 2. Таким образом, стационарными точками функции будут x = 0, x = -1 и x = 2.

Совет:
- Для поиска стационарных точек и экстремумов функций, важно знать производные функций и уметь решать уравнения.
- Внимательно следите за знаком производных, так как он определяет поведение функции.
- Первая и вторая производная функции могут помочь в определении типа экстремумов.

Упражнение:
Найдите стационарные точки и экстремумы для функции f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 10x + 5.