1) Какие значения m и c делают прямую (x-z)/m=(y+1)/4=(z-5)/-3 перпендикулярной плоскости 3x-2y+cz+1=0? 2) Как найти

Содержание: Перпендикулярность прямой и плоскости

Пояснение: Чтобы определить значения m и c, при которых прямая (x-z)/m=(y+1)/4=(z-5)/-3 будет перпендикулярна плоскости 3x-2y+cz+1=0, мы можем использовать следующее свойство: направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости.

Плоскость задана уравнением 3x-2y+cz+1=0, имея вид Ax + By + Cz + D = 0, нормальный вектор плоскости можно получить из коэффициентов уравнения: N = (A, B, C). В данном случае, нормальный вектор плоскости будет равен N = (3, -2, c).

Направляющий вектор прямой (x-z)/m=(y+1)/4=(z-5)/-3 можно получить, вычитая координаты точек прямой. В данном случае, представим прямую в виде параметрического уравнения: x = tm, y = -1 + 4t, z = 5 - 3t, где t - параметр.

Теперь, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, их направляющие векторы должны быть перпендикулярными, то есть их скалярное произведение должно быть равно 0. Используя векторы N = (3, -2, c) и M = (m, 4, -3), уравнение их перпендикулярности будет иметь вид 3m - 8 - 3c = 0.

Таким образом, мы получаем систему уравнений:
3m - 8 - 3c = 0
3x - 2y + cz + 1 = 0

Пример:
Задача: Найдите значения m и c, при которых прямая (x-z)/m=(y+1)/4=(z-5)/-3 перпендикулярна плоскости 3x-2y+cz+1=0.

Решение:
1) Используя уравнение плоскости 3x-2y+cz+1=0, получаем нормальный вектор N = (3, -2, c).
2) Используя параметрическое уравнение прямой x = tm, y = -1 + 4t, z = 5 - 3t, находим направляющий вектор M = (m, 4, -3).
3) Теперь формируем систему уравнений: 3m - 8 - 3c = 0 и 3x - 2y + cz + 1 = 0.
4) Решаем систему уравнений для m и c.

Совет: Для более понятного представления задачи, можно построить график прямой и плоскости в 3D пространстве и визуализировать их взаимное расположение.

Проверочное упражнение:
Найдите значения m и c, при которых прямая (x-z)/m=(y+1)/4=(z-5)/-3 перпендикулярна плоскости 2x-3y+cz-9=0.