1) Как записать комплексное число z=-5i в показательной и тригонометрической формах? 2) Чему равно z^6, если z=-√3+i?

Тема урока: Комплексные числа
Разъяснение:
1) Для записи комплексного числа z=-5i в показательной и тригонометрической формах, мы используем формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа выглядит следующим образом:

z = r * e^(i * θ)

где r - модуль числа, θ - аргумент числа, и e - основание натурального логарифма. В данном случае, r = |z| = 5 и θ = -π/2, так как комплексное число z находится в четверти, где sin(θ) < 0 и cos(θ) = 0.

Поэтому показательная форма числа z будет:

z = 5 * e^(-i * π/2)

Что касается тригонометрической формы комплексного числа, она выражается следующим образом:

z = r * (cos(θ) + i * sin(θ))

В данном случае:

z = 5 * (cos(-π/2) + i * sin(-π/2))

Таким образом, комплексное число z=-5i в показательной форме будет z = 5 * e^(-i * π/2), а в тригонометрической форме - z = 5 * (cos(-π/2) + i * sin(-π/2)).

2) Чтобы найти значение z^6, где z=-√3+i, мы возводим число z в шестую степень, используя формулу Эйлера:

z^6 = r^6 * e^(6i * θ)

где r - модуль числа, а θ - его аргумент.

Модуль комплексного числа z равен |z| = √((-√3)^2 + 1^2) = 2.

Аргумент числа z можно найти с использованием тригонометрических функций:

θ = arctan(Im(z) / Re(z)) = arctan(1 / -√3) = -π/6.

Теперь мы можем выразить число z в показательной форме:

z = 2 * e^(-i * π/6)

Возводя это число в шестую степень, получим:

z^6 = 2^6 * e^(6 * -i * π/6) = 64 * e^(-i * π)

Таким образом, значение z^6 равно 64 * e^(-i * π).

Совет:
Для лучшего понимания комплексных чисел, рекомендуется ознакомиться с тригонометрической формой чисел и изучить формулы Эйлера.

Практика:
Найдите показательную и тригонометрическую формы комплексного числа z=3i.

Суть вопроса: Комплексные числа

Пояснение: Комплексные числа представляются двумя компонентами: вещественной и мнимой частями. Вещественная часть отображает позицию на числовой оси, а мнимая часть - на оси мнимых чисел (часто обозначаемой как i). Комплексное число может быть записано как a + bi.

1) Запись комплексного числа z = -5i в показательной форме:
Для записи числа в показательной форме используется формула z = |z| * e^(iφ), где |z| - модуль комплексного числа, а φ - аргумент комплексного числа.

Для нахождения модуля |z|, мы используем формулу |z| = √(Re(z)^2 + Im(z)^2), где Re(z) - вещественная часть комплексного числа, и Im(z) - мнимая часть комплексного числа.
В данном случае, Re(z) = 0, а Im(z) = -5. Поэтому: |z| = √(0^2 + (-5)^2) = √25 = 5.

Аргумент комплексного числа z в данном случае равен -π/2, так как комплексное число находится на отрицательной полуоси мнимых чисел.

Таким образом, комплексное число z = -5i может быть записано в показательной форме: z = 5 * e^(-iπ/2).

2) Найдем z^6, где z = -√3 + i:
Сначала, найдем модуль |z| и аргумент комплексного числа z.
|z| = √((-√3)^2 + 1^2) = √(3 + 1) = √4 = 2.

Аргумент комплексного числа z вычисляем с помощью формулы arctan(Im(z)/Re(z)). В данном случае, Re(z) = -√3, а Im(z) = 1. Таким образом, аргумент можно выразить как arctan(1/(-√3)). Используя квадрантные измерения, аргумент равен arctan(1/(-√3)) + π = -π/6 + π = 5π/6.

Теперь, чтобы найти z^6, используем формулу z^n = |z|^n * e^(inφ), где n - степень.

z^6 = 2^6 * e^(6i(5π/6)) = 64 * e^(5iπ) = 64 * cos(5π) + 64i * sin(5π) = -64+0i.

Совет: Для более полного понимания комплексных чисел, рекомендуется изучить теорию эйлеровых формул и основные свойства комплексной алгебры.

Дополнительное упражнение: Найдите модуль и аргумент комплексного числа z = 3 + 4i и запишите его в показательной форме. Найдите z^3.