1) Как найти производную функции f(x) = (x^2 - x)^2? 2) Как найти производную функции f(x) = (2x - 1)^-5? 3) Как найти

Тема урока: Производная функций

Описание:
1) Для нахождения производной функции f(x) = (x^2 - x)^2 применяем правило дифференцирования композиции функций. Сначала находим производную внешней функции (x^2 - x)^2, затем находим производную внутренней функции x^2 - x и умножаем ее на производную внешней функции.

Поэтому, чтобы найти производную f"(x), первый шаг - раскрыть скобки во внешней функции: f(x) = (x^2 - x)^2 = x^4 - 2x^3 + x^2. Затем находим производную этой функции, используя правила дифференцирования полиномов: f"(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x.

2) Для функции f(x) = (2x - 1)^-5 также используем правило дифференцирования композиции функций. Сначала находим производную внешней функции (2x - 1)^-5, затем находим производную внутренней функции 2x - 1 и умножаем ее на производную внешней функции.

Итак, для нахождения производной f"(x) раскрываем скобки во внешней функции: f(x) = (2x - 1)^-5 = 1/(2x - 1)^5. Затем находим производную этой функции, применяя правило дифференцирования обратной функции и правило дифференцирования полиномов: f"(x) = -10/(2x - 1)^6.

3) Для функции f(x) = √(5x - x^2) начнем с нахождения производной функции внутри корня, а затем применим правило дифференцирования функции, содержащей корень.

Для начала, находим производную внутри корня: f(x) = √(5x - x^2) = (5x - x^2)^(1/2). Затем находим производную этой функции по правилу дифференцирования полиномов и функций с показателем: f"(x) = (1/2)(-2x + 5)(5x - x^2)^(-1/2).

4) Для функции f(x) = √(2x + √3x) + 1/(2x - 1)√2 сначала находим производные от каждого слагаемого, а затем их суммируем.

a) Для первого слагаемого √(2x + √3x) используем правило дифференцирования функций с корнем: f(x) = √(2x + √3x) = (2x + √3x)^(1/2). Затем находим производную этой функции с помощью правила дифференцирования полиномов и функций с показателем: f"(x) = (1/2)(2 + (1/2√3))(2x + √3x)^(-1/2).

b) Для второго слагаемого 1/(2x - 1)√2 находим производную, применяя правило дифференцирования дробной функции и правило дифференцирования функций с корнем:
f(x) = 1/(2x - 1)√2 = 2^(1/2)/(2x - 1). Затем находим производную этой функции: f"(x) = (-2^(1/2))/(2x - 1)^2.

Итак, суммируем найденные производные двух слагаемых: f"(x) = (1/2)(2 + (1/2√3))(2x + √3x)^(-1/2) + (-2^(1/2))/(2x - 1)^2.

Совет: При решении задач по нахождению производных полезно знать основные правила дифференцирования и иметь навык раскрытия скобок и упрощения выражений.

Задание для закрепления: Найдите производные следующих функций:
a) f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1
b) f(x) = sin(x) + cos(x)
c) f(x) = e^x + ln(x)
d) f(x) = 3x^2 - cos^2(x)

Содержание вопроса: Производные с использованием правил дифференцирования

Разъяснение:
Чтобы найти производную функции, мы будем использовать правила дифференцирования. Производная функции f(x) показывает, как быстро меняется функция с изменением значения переменной x.

1) Для функции f(x) = (x^2 - x)^2, мы используем правило дифференцирования произведения. Сначала раскроем скобки:
f(x) = (x^2 - x)*(x^2 - x). Затем применим правило дифференцирования произведения:
f"(x) = 2*(x^2 - x)*(2x - 1).

2) Для функции f(x) = (2x - 1)^-5, мы используем правило дифференцирования степенной функции. Применим это правило:
f"(x) = -5*(2x - 1)^-6 * 2.

3) Для функции f(x) = √(5x - x^2), мы используем правило дифференцирования функции с использованием цепного правила. Применим это правило:
f"(x) = (1/2)*(5 - 2x) * (5x - x^2)^(-1/2).

4) Для функции f(x) = √(2x + √3x) + 1/(2x - 1)√2, мы используем комбинированное правило дифференцирования, применяя правила дифференцирования для сложной функции и для суммы функций:
f"(x) = (1/2)*(2 + (3/2)*(√3))/(√(2x + √3x)) + (-1/(2x - 1)^2)*√2.

Пример:

1) Найти производную функции f(x) = (x^2 - x)^2.
2) Найти производную функции f(x) = (2x - 1)^-5.
3) Найти производную функции f(x) = √(5x - x^2).
4) Найти производную функции f(x) = √(2x + √3x) + 1/(2x - 1)√2.

Совет: Изучение правил и примеров дифференцирования может помочь лучше понять процесс нахождения производной. Постепенно углубляйтесь в материал, решая различные задачи и практикуясь в применении правил.

Задание: Найти производную функции f(x) = (3x^2 - 2x)^3.