Знайдіть кути трикутника АВС, якщо координати його точок А (-2; 1), В (1; 5) і С

Предмет вопроса: Кути в треугольнике

Пояснение: Для нахождения углов треугольника АВС, заданного координатами его вершин, мы можем воспользоваться формулой из тригонометрии - теоремой косинусов. Эта формула позволяет нам вычислить угол, зная длины сторон треугольника.

Первым делом нам необходимо найти длины сторон треугольника АВС. Используем формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости, которая выглядит следующим образом:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Вычисляем длины сторон:

AB = $\sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - 1)^2}$ = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ = $\sqrt{9 + 16}$ = $\sqrt{25}$ = 5

BC = $\sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - 1)^2}$ = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ = $\sqrt{9 + 16}$ = $\sqrt{25}$ = 5

CA = $\sqrt{(-2 - 1)^2 + (1 - 5)^2}$ = $\sqrt{(-3)^2 + (-4)^2}$ = $\sqrt{9 + 16}$ = $\sqrt{25}$ = 5

Теперь, зная длины всех сторон, мы можем применить теорему косинусов:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Подставляем значения:

$\cos A = \frac{5^2 + 5^2 - 5^2}{2 \cdot 5 \cdot 5}$ = $\frac{25 + 25 - 25}{50}$ = $\frac{25}{50}$ = $\frac{1}{2}$

$\cos B = \frac{5^2 + 5^2 - 5^2}{2 \cdot 5 \cdot 5}$ = $\frac{25 + 25 - 25}{50}$ = $\frac{25}{50}$ = $\frac{1}{2}$

$\cos C = \frac{5^2 + 5^2 - 5^2}{2 \cdot 5 \cdot 5}$ = $\frac{25 + 25 - 25}{50}$ = $\frac{25}{50}$ = $\frac{1}{2}$

Для нахождения углов треугольника, мы должны найти обратный косинус каждого значения, используя функцию $\cos^{-1}$. Итак,

$A = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

$B = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

$C = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

Подставляем значения:

$A = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

$B = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

$C = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Таким образом, все углы треугольника АВС равны 60 градусов каждый.

Доп. материал: Найдите углы треугольника А(−2; 1), В(1; 5) и С(4; 1).

Совет: Для лучшего понимания и примеров решения задач по треугольникам, можно изучить теорему Пифагора и теорему косинусов. Также полезно знать, что сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам.

Задача для проверки: Найдите углы треугольника с вершинами А(−3; 1), В(2; 4) и С(1; −1).