Якого виду є кут між векторами (в-а) ⃗ та (с-а) ⃗ в трикутнику АВС? Знайдіть модуль вектора (В-Д) ⃗, якщо (В-Д

Тема: Векторы в треугольнике

Объяснение: Для нахождения вида угла между векторами (в-а) ⃗ и (с-а) ⃗ в треугольнике АВС, воспользуемся определением скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов (а и b) вычисляется по формуле: a · b = |a| |b| cos θ, где |a| и |b| — модули векторов, а θ — угол между ними.

Мы знаем, что (в-а) ⃗ = а ⃗ - в ⃗ и (с-а) ⃗ = а ⃗ - с ⃗, где а ⃗, в ⃗ и с ⃗ — векторы точек А, В и С соответственно.

Таким образом, (в-а) ⃗ = а ⃗ - в ⃗ и (с-а) ⃗ = а ⃗ - с ⃗.

Используя определение скалярного произведения, мы можем записать: cos θ = [(в-а) ⃗ · (с-а) ⃗] / (|в-а| |с-а|).

Обратите внимание, что а ⃗ и в ⃗ являются векторами точек А и В соответственно.

Для нахождения модуля вектора (В-Д) ⃗, если (В-Д) ⃗ = 2(В-С) ⃗, нужно сначала найти модуль вектора (В-С) ⃗, а затем умножить его на 2.

Демонстрация:
Задача: В треугольнике ABC известны следующие векторы: а ⃗ = (3, 2), б ⃗ = (1, 4) и с ⃗ = (5, 3). Найдите вид угла между векторами (б-а) ⃗ и (с-а) ⃗. Найдите модуль вектора (б-в) ⃗, если (б-в) ⃗ = 2(в-с) ⃗.

Решение:
1. Найдем вектор (б-а) ⃗:
(б-а) ⃗ = б ⃗ - а ⃗ = (1, 4) - (3, 2) = (-2, 2)

2. Найдем вектор (с-а) ⃗:
(с-а) ⃗ = с ⃗ - а ⃗ = (5, 3) - (3, 2) = (2, 1)

3. Вычислим скалярное произведение векторов (б-а) ⃗ и (с-а) ⃗:
(б-а) ⃗ · (с-а) ⃗ = (-2, 2) · (2, 1) = (-4 + 2) + (4 + 2) = 0 + 6 = 6

4. Найдем модуль векторов |(б-а) ⃗| и |(с-а) ⃗|:
|(б-а) ⃗| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8) = 2sqrt(2)
|(с-а) ⃗| = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5)

5. Вычислим cos θ:
cos θ = (б-а) ⃗ · (с-а) ⃗ / (|(б-а) ⃗| |(с-а) ⃗|) = 6 / (2sqrt(2) sqrt(5)) = 6 / (2 * sqrt(2) * sqrt(5)) = 3 / (sqrt(2) * sqrt(5))

6. Найдем вид угла θ:
θ = arccos(3 / (sqrt(2) * sqrt(5)))

7. Найдем вектор (б-в) ⃗:
(б-в) ⃗ = 2(в-с) ⃗ = 2 (с ⃗ - в ⃗) = 2 (5, 3 - (1, 4)) = 2 (4, -1) = (8, -2)

8. Найдем модуль вектора (б-в) ⃗:
|(б-в) ⃗| = sqrt((8)^2 + (-2)^2) = sqrt(64 + 4) = sqrt(68) = 2sqrt(17)

Совет: Для более легкого понимания и решения задач на векторы в треугольнике, рекомендуется внимательно изучать формулы скалярного произведения и модуля вектора, а также проводить ряд практических заданий.

Упражнение: В треугольнике XYZ известны следующие векторы: x ⃗ = (2, 3), у ⃗ = (1, -2) и z ⃗ = (4, -1). Найдите вид угла между векторами (у-х) ⃗ и (z-х) ⃗. Найдите модуль вектора (z-у) ⃗, если (z-у) ⃗ = 3(у-х) ⃗.

Содержание: Угол между векторами и модуль вектора

Разъяснение: Для начала, нам необходимо решить первую часть задачи, а именно найти угол между векторами (в-а) ⃗ и (с-а) ⃗ в треугольнике АВС. Для этого нам понадобятся координаты векторов.

1. Вычислим координаты вектора (в-а) ⃗. Для этого вычтем из координат точки В координаты точки А:

(в-а) ⃗ = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

2. Вычислим координаты вектора (с-а) ⃗. Для этого вычтем из координат точки С координаты точки А:

(с-а) ⃗ = (x₃ - x₁, y₃ - y₁)

3. Найдем скалярное произведение векторов (в-а) ⃗ и (с-а) ⃗:

(в-а) ⃗ · (с-а) ⃗ = (x₂ - x₁, y₂ - y₁) · (x₃ - x₁, y₃ - y₁) = (x₂ - x₁) * (x₃ - x₁) + (y₂ - y₁) * (y₃ - y₁)

4. Вычислим длины векторов (в-а) ⃗ и (с-а) ⃗:

|(в-а) ⃗ | = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

|(с-а) ⃗ | = √(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²

5. Наконец, найдем угол между векторами (в-а) ⃗ и (с-а) ⃗ с помощью формулы:

cos(θ) = (в-а) ⃗ · (с-а) ⃗ / (|(в-а) ⃗ | * |(с-а) ⃗ |)

θ = arccos(cos(θ))

где arccos - обратная функция косинуса.

Теперь рассмотрим вторую часть задачи и найдем модуль вектора (В-Д) ⃗. Нам дано, что (В-Д) ⃗ = 2(В-С) ⃗. Это означает, что координаты вектора (В-Д) ⃗ будут в два раза больше координат вектора (В-С) ⃗.

1. Вычислим координаты вектора (В-Д) ⃗. Для этого умножим координаты вектора (В-С) ⃗ на 2:

(В-Д) ⃗ = 2(В-С) ⃗ = 2 * (x₃ - x₂, y₃ - y₂) = (2 * (x₃ - x₂), 2 * (y₃ - y₂))

2. Найдем модуль вектора (В-Д) ⃗:

|(В-Д) ⃗ | = √(2 * (x₃ - x₂))² + (2 * (y₃ - y₂))²

= √4 * ((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²)

= 2 * √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²)

Теперь мы можем предоставить решение задачи с подробным разбором каждого шага.

Дополнительный материал:
1. Найдите угол между векторами (3, 4) и (-2, 1) в треугольнике ABC.
2. Решите задачу: Определите модуль вектора (4, 6) если (4, 6) = 2(1, 3).

Совет: Для более легкого понимания углов между векторами, можно использовать геометрическую интерпретацию, представив векторы на координатной плоскости и нарисовав треугольник.

Задача для проверки: Найдите угол между векторами (2, -1) и (5, 3) в треугольнике XYZ. Найдите модуль вектора (X-D) ⃗ если (X-D) ⃗ = 3(Y-D) ⃗.