Якій площі дорівнює бічна поверхня правильної трикутної призми, якщо довжина медіани основи цієї призми становить

Тема: Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы

Инструкция: Правильная треугольная призма – это трехмерное тело, основанием которой является равносторонний треугольник, а боковые грани – равносторонние треугольники.

Чтобы найти площадь боковой поверхности такой призмы, нужно найти площадь одной из боковых граней, а затем умножить ее на количество боковых граней.

Первым шагом найдем площадь одной боковой грани. Мы знаем, что медиана основания равна 2√3 см. Также, по условию задачи, угол между диагональю боковой грани и высотой составляет 45°.

Для нахождения площади боковой грани воспользуемся формулой площади треугольника: S = (1/2) * a * b * sin(C), где a и b - стороны треугольника, C - угол между ними.

У нашей боковой грани основание - медиана, поэтому a = 2√3 см. Угол C равен 45°. Для нахождения стороны b расширим треугольник до прямоугольного, так как у нас уже есть прямой угол. Тогда b - высота треугольника, которую мы должны найти.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 2√3 и b и гипотенузой 2b, мы можем записать следующее уравнение:
(2√3)^2 + b^2 = (2b)^2

Упростим его:

12 + b^2 = 4b^2
3b^2 = 12
b^2 = 4
b = 2

Теперь мы знаем все значения для нахождения площади боковой грани:
a = 2√3 см
b = 2 см
C = 45°

Подставим значения в формулу площади треугольника:
S = (1/2) * 2√3 * 2 * sin(45°)
S = sqrt(3) * 2 * 1/√2
S = sqrt(3)

Поскольку у призмы 3 боковые грани, общая площадь боковой поверхности будет равна:
S = 3 * sqrt(3)
S = 3sqrt(3) см^2

Пример использования: Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если длина медианы основания составляет 2√3 см и угол между диагональю боковой грани и высотой равен 45°.

Совет: Для упрощения решения задачи, рассмотрите различные треугольники, используйте тригонометрию и теорему Пифагора.

Упражнение: Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если длина медианы основания составляет 4 см и угол между диагональю боковой грани и высотой равен 60°.