Який об єм паралелепіпеда з основою у вигляді ромба зі стороною 3 см і кутом у 60°, якщо більша діагональ

Тема: Об"єм паралелепіпеда з основою у вигляді ромба

Пояснення:
Щоб знайти об"єм паралелепіпеда, спочатку необхідно знайти площу основи паралелепіпеда, а потім помножити цю площу на висоту паралелепіпеда.

Оскільки основа паралелепіпеда у вигляді ромба, ми можемо використати формулу для знаходження площі ромба: S = (d1 * d2) / 2, де d1 та d2 - діагоналі ромба.

За даними умови задачі, сторона ромба дорівнює 3 см, тому ми можемо знайти діагоналі ромба:

d1 = 2 * a * sin(60°) = 2 * 3 * √3/2 = 3√3 см,
d2 = 2 * a * sin(120°) = 2 * 3 * √3/2 = 3√3 см.

Зауважте, що сторона ромба є половиною діагоналі, оскільки кут між більшою діагоналлю і площиною основи рівний 45°.

Тепер, знаючи значення діагоналей, ми можемо знайти площу ромба:

S = (d1 * d2) / 2 = (3√3 * 3√3) / 2 = (9 * 3) / 2 = 27/2 см².

Крок 2: Знайти висоту паралелепіпеда.
Висота паралелепіпеда дорівнює відстані між площиною основи і найбільшою діагоналлю кута 45°.

Зауважте, що трикутник, утворений площиною основи, висотою паралелепіпеда і найбільшою діагоналлю, є прямокутним трикутником з кутом 45°.

Застосовуючи теорему Піфагора, ми можемо знайти висоту:

h² = d² - a²,
h² = (3√3)² - 3²,
h² = 27 - 9,
h² = 18,
h = √18.

Тепер, знаючи значення площі основи (27/2 см²) і висоти (√18 см), ми можемо знайти об"єм паралелепіпеда використовуючи формулу V = S * h:
V = (27/2) * √18 = 27√2.

Отже, об"єм паралелепіпеда з основою у вигляді ромба зі стороною 3 см і кутом у 60°, при умові, що більша діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом 45°, дорівнює 27√2 куб. см.

Приклад використання:
Уявіть, що ви маєте паралелепіпед з основою у вигляді ромба зі стороною 4 см і кутом у 45°, і вам потрібно знайти його об"єм. Використовуючи формулу і похідні числа, ви можете обрахувати:

Об"єм паралелепіпеда V = (27/2) * √2 = 13.5√2 куб. см

Порада:
Щоб краще зрозуміти цю тему, рекомендується ознайомитися з властивостями трикутників, ромбів та формулами для знаходження площі. Також можна розглянути геометричні моделі, щоб візуалізувати простірний паралелепіпед.

Вправа:
Знайдіть об"єм паралелепіпеда з основою у вигляді ромба зі стороною 5 см і кутом у 30°, якщо більша діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом 60°.