Яким є обʼєм правильної чотирикутної піраміди, якщо бічне ребро має довжину l і утворює кут α з площиною основи?

Геометрия: Объем правильной четырехгранной пирамиды

Инструкция:
Объем пирамиды можно вычислить, зная площадь основания и высоту пирамиды. Для правильной четырехгранной пирамиды формула для вычисления объема будет выглядеть следующим образом:

V = (1/3) * S * h

где V - объем пирамиды, S - площадь основания и h - высота пирамиды.

В данной задаче у нас есть информация о боковом ребре пирамиды (l) и угле (α), который это ребро образует с плоскостью основания. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти высоту пирамиды, а затем подставить значения в формулу для объема.

Для этого воспользуемся тригонометрией. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором угол α является одним из острых углов, а сторона l - гипотенузой. Пусть катеты треугольника будут h - высота пирамиды и a - половина стороны основания. Тогда мы можем записать следующее соотношение:

sin α = h / l

Отсюда, высота пирамиды h будет равна:

h = l * sin α

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * (l * sin α)

Дополнительный материал:
Пусть боковое ребро пирамиды l = 6 см, а угол α = 60°. Найдем объем правильной четырехгранной пирамиды.

Мы можем использовать формулу объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h

Сначала найдем высоту пирамиды, используя уравнение sin α = h / l:

h = l * sin α
h = 6 * sin 60°
h = 6 * (√3 / 2)
h = 3√3 см

Затем подставим значенияв формулу объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h
V = (1/3) * S * 3√3

Совет:
Если вам дана пирамида с нестандартным углом или неравнобедренным основанием, вам может потребоваться использовать другие формулы для вычисления объема. Убедитесь, что вы понимаете характеристики пирамиды, прежде чем приступать к вычислениям.

Закрепляющее упражнение:
Известно, что боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8 см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 45°. Найдите объем этой пирамиды.