Яким є косинус кута А трикутника АВС, якщо координати точок А, В і С дорівнюють (-1;2), (3;7) і (2;-1) відповідно?

Тема занятия: Косинусный закон для треугольников

Объяснение:

Чтобы найти косинус угла A треугольника ABC, нам понадобятся координаты точек A, B и C.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Длина стороны AB вычисляется по формуле:
AB = sqrt( (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 ), где (x1, y1) = (-1, 2) и (x2, y2) = (3, 7).

AB = sqrt( (3 - (-1))^2 + (7 - 2)^2 ) = sqrt(4^2 + 5^2) = sqrt( 16 + 25 ) = sqrt( 41 ).

Аналогичным образом, найдем длины сторон BC и AC.

BC = sqrt( (2 - 3)^2 + (-1 - 7)^2 ) = sqrt( (-1)^2 + (-8)^2 ) = sqrt( 1 + 64 ) = sqrt( 65 ).

AC = sqrt( (-1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2 ) = sqrt( (-3)^2 + (3)^2 ) = sqrt( 9 + 9 ) = sqrt( 18 ).

Шаг 2: Применим косинусный закон для треугольников, чтобы найти косинус угла A.

Косинус угла A может быть выражен следующим образом:
cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC).

Подставим значения длин сторон треугольника в эту формулу:
cos(A) = (65^2 + 18^2 - 41^2) / (2 * 65 * 18) = (4225 + 324 - 1681) / 2340 = 2868 / 2340 ≈ 1.226.

Таким образом, косинус угла A треугольника ABC примерно равен 1.226.

Пример:
Найдите косинус угла C треугольника ABC, если координаты точек A, B и C равны (-1;2), (3;7) и (2;-1) соответственно.

Совет:
Для более легкого понимания и применения косинусного закона для треугольников, рекомендуется визуализировать треугольник на декартовой плоскости и использовать формулу расстояния между двумя точками.

Задание для закрепления:
Найдите косинус угла B треугольника XYZ, если точки X, Y и Z имеют координаты (1;3), (-2;7) и (4;5) соответственно.

Содержание вопроса: Косинус угла треугольника

Инструкция: Чтобы найти косинус угла А треугольника АВС, нужно знать длины двух его сторон и угол, на который эти стороны заключают этот угол. В данном случае у нас есть координаты точек А, В и С треугольника.

Для начала, найдем длины сторон треугольника АВС, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Длины сторон будут следующими:

AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] = √[(3 - (-1))² + (7 - 2)²] = √[4² + 5²] = √(16 + 25) = √(41)

AC = √[(x3 - x1)² + (y3 - y1)²] = √[(2 - (-1))² + (-1 - 2)²] = √[3² + (-3)²] = √(9 + 9) = √(18) = 3√2

Теперь, используя найденные длины сторон, мы можем найти косинус угла А с помощью формулы косинуса:

cos(A) = (b² + c² - a²) / (2 * b * c)

где a, b и c - длины сторон треугольника.

cos(A) = (3√2² + √(41)² - (3√2 * √(41))) / (2 * 3√2 * √(41))

cos(A) = (18 + 41 - (3 * 2 * √(2) * √(41))) / (6√2 * √(41))

cos(A) = (59 - 6√(82)) / (6√(82))

Например:

В данном случае, чтобы найти косинус угла А треугольника АВС с координатами точек (-1,2), (3,7) и (2,-1), мы должны использовать формулу косинуса, подставив в нее найденные длины сторон треугольника: cos(A) = (59 - 6√82) / (6√82).

Рекомендация: Если вам сложно понять эту тему, рекомендуется повторить формулу расстояния между двумя точками и формулу косинуса, чтобы лучше освоить материал. Также полезно изучить геометрический смысл косинуса угла.

Проверочное упражнение: Найдите косинус угла В треугольника с вершинами в точках (0,0), (4,0) и (2,3).