Яка відстань між точкою А і площиною прямокутника ABCD, якщо сторона АВ дорівнює 4 см, сторона ВС дорівнює 3

Тема: Расстояние от точки до плоскости

Разъяснение: Чтобы найти расстояние между точкой и плоскостью прямоугольника ABCD, мы можем использовать следующий подход. Для начала нужно найти уравнение плоскости ABMD, которая является параллельной стороне BC и проходит через точку М. Затем мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости. Формула для нахождения расстояния d между точкой (x₀, y₀, z₀) и плоскостью Ax + By + Cz + D = 0 имеет вид:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²),

где A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости, а (x₀, y₀, z₀) - координаты точки.

В данной задаче плоскостью является ABMD, где AB = 4 см и BC = 3 см. Мы можем выбрать точку A с координатами (0, 0, 0) и точку М с координатами (4, 0, h), где h - расстояние, которое мы ищем.

Теперь мы можем записать уравнение плоскости ABMD. Уравнение плоскости определяется через нормальный вектор, который перпендикулярен плоскости. Так как плоскость ABM параллельна плоскости ABCD, то её нормальный вектор будет совпадать с нормальным вектором плоскости ABCD. Нормальный вектор плоскости ABCD можно найти как векторное произведение векторов AB и BC:

n = AB x BC,

где x обозначает векторное произведение.

Учитывая, что AB = (4, 0, 0) и BC = (0, 3, 0), мы можем вычислить векторное произведение:

n = AB x BC = (4, 0, 0) x (0, 3, 0) = (0, 0, 12).

Теперь мы можем записать уравнение плоскости ABMD, используя точку A (0, 0, 0) и нормальный вектор (0, 0, 12):

0x + 0y + 12z + D = 0.

Подставляя координаты точки М (4, 0, h) в уравнение плоскости, получим:

0 + 0 + 12h + D = 0.

D = -12h.

Теперь у нас есть уравнение плоскости ABMD: 12z - 12h = 0.

Применяя формулу для расстояния от точки до плоскости, получаем:

d = |0*4 + 0*0 + 12*0 + (-12h)| / √(0² + 0² + 12²) = |-12h| / √144 = |12h| / 12 = |h|.

Таким образом, расстояние между точкой А и плоскостью прямоугольника ABCD равно |h|.

Дополнительный материал: Если значение h равно 5 см, тогда расстояние между точкой А и плоскостью ABCD составляет 5 см.

Совет: Для понимания задачи о расстоянии от точки до плоскости, полезно знать уравнение плоскости в трехмерном пространстве и формулу расстояния от точки до плоскости.

Закрепляющее упражнение: Найдите расстояние от точки А(0, 0, 0) до плоскости x + y + z = 1.

Предмет вопроса: Расстояние от точки до плоскости

Разъяснение: Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. Предположим, что точка М (как указано в задаче) является проекцией точки А на плоскость прямоугольника ABCD.

Шаг 1: Мы знаем, что сторона АВ равна 4 см, а сторона ВС равна 3 см. Представим прямоугольник ABCD на плоскости и отметим точку А.

Шаг 2: Теперь проведем перпендикуляр из точки М на плоскость прямоугольника. Обозначим эту точку пересечения как N.

Шаг 3: Расстояние от точки А до плоскости прямоугольника ABCD равно расстоянию от точки А до точки N.

Шаг 4: Для нахождения расстояния между точками А и N мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике АМN.

Шаг 5: Известны две стороны треугольника AMN: сторона АМ (4 см) и сторона МN (3 см). Нам нужно найти третью сторону, которую обозначим как АN.

Шаг 6: По теореме Пифагора мы можем записать уравнение: АМ^2 = АN^2 + МN^2.

Шаг 7: Подставив известные значения, получим уравнение: 4^2 = АN^2 + 3^2.

Шаг 8: Решим уравнение: 16 = АN^2 + 9. Путем вычитания 9 из обеих сторон получаем: АN^2 = 7. Взяв квадратный корень из обеих сторон уравнения, получаем: АN ≈ √7 см.

Демонстрация: Найти расстояние между точкой А и плоскостью прямоугольника ABCD, если АВ = 4 см, ВС = 3 см и расстояние между точкой А и точкой М на плоскости прямоугольника равно 2 см.

Совет: При решении задач на нахождение расстояния между точкой и плоскостью, всегда рисуйте схему и обозначайте все известные и неизвестные величины. Это поможет вам лучше понять условие задачи и правильно выбрать нужную формулу для решения.

Дополнительное упражнение: Найти расстояние между точкой А и плоскостью прямоугольника PQRS, если АР = 10 см, РС = 6 см и расстояние между точкой А и точкой М на плоскости прямоугольника равно 8 см.