Какова длина катета AC в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C является прямым, катет BC равен 14 см, а тангенс

Содержание вопроса: Теорема косинусов

Пояснение: В данной задаче нам дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым углом, и также известны длины катета BC и тангенса угла B. Мы хотим найти длину катета AC. Для решения данной задачи мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC,

где a и b - длины сторон треугольника, C - угол между этими сторонами, а c - длина третьей стороны (диагональ, гипотенуза в случае прямоугольного треугольника).

В нашей задаче известна длина стороны BC (14 см) и значение тангенса угла B (6/7). Нам необходимо найти длину стороны AC.

Шаг 1: Найдем значение угла B, используя тангенс:

tgB = b/a,

где a - длина катета AC, b - длина катета BC. Подставим значения:

6/7 = b/a.

Теперь найдем отношение сторон треугольника:

b = (6/7) * a.

Шаг 2: Применим теорему косинусов к треугольнику ABC:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC.

При этом известны следующие значения: b = (6/7) * a, a = AC и c = BC. Заменив, получим:

(BC)^2 = (AC)^2 + ((6/7) * AC)^2 - 2 * AC * ((6/7) * AC) * cosC.

Шаг 3: Подставим значения:

(14 см)^2 = (AC)^2 + ((6/7) * AC)^2 - 2 * AC * ((6/7) * AC) * cosC.

Шаг 4: Известно, что cosC = 0, так как угол C является прямым. Подставим это значение:

(14 см)^2 = (AC)^2 + ((6/7) * AC)^2 - 2 * AC * ((6/7) * AC) * 0.

Шаг 5: Упростим выражение:

196 см^2 = (AC)^2 + (36/49) * (AC)^2.

Шаг 6: Объединим подобные слагаемые:

196 см^2 = (1 + 36/49) * (AC)^2.

Шаг 7: Выполним алгебраические операции:

196 см^2 = (85/49) * (AC)^2.

Шаг 8: Разделим обе части уравнения на (85/49):

((196 см^2) / (85/49)) = (AC)^2.

Шаг 9: Вычислим значение AC:

AC = sqrt((196 см^2 / (85/49))).

Итак, получаем ответ:

AC ≈ 10,88 см.

Совет: При работе с подобными задачами важно помнить различные теоремы и формулы, такие как теорема косинусов и формула для тангенса. Также, важно внимательно читать условие задачи и правильно подставлять значения для получения правильного решения. Возможность рассматривать треугольники на чертеже или через графический редактор может помочь визуализировать задачу и понять ее условие лучше.

Дополнительное упражнение: В прямоугольном треугольнике требуется найти длину гипотенузы AC, если известно, что длина одного катета AB равна 5 см, а синус угла A равен 0.6.