What are the values of the trigonometric functions of angle A if: 1) tan A = 2 2) sin alpha = 3 square root/2

Тригонометрические функции угла A в зависимости от его значения:

1) При условии tan A = 2:
Мы знаем, что tan A = sin A / cos A.
Подставляя значение, получаем sin A / cos A = 2.
Мы можем также записать sin A = 2 * cos A.
Рассмотрим треугольник, где противоположная сторона sin A = 2 и прилежащая сторона cos A = 1.
Применяя теорему Пифагора, находим гипотенузу:
sin^2 A + cos^2 A = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5.
Таким образом, sin A = 2 / sqrt(5), а cos A = 1 / sqrt(5).
Другие тригонометрические функции:
tan A = sin A / cos A = (2 / sqrt(5)) / (1 / sqrt(5)) = 2 / 1 = 2.
cot A = 1 / tan A = 1 / 2.
sec A = 1 / cos A = sqrt(5).
csc A = 1 / sin A = sqrt(5) / 2.

2) При условии sin A = (3/2)^(1/2):
Мы знаем, что sin A / cos A = tan A.
Подставляя значение, получаем (3/2)^(1/2) / cos A = tan A.
Рассмотрим треугольник, где противоположная сторона sin A = (3/2)^(1/2) и прилежащая сторона cos A = 1.
Применяя теорему Пифагора, находим гипотенузу:
sin^2 A + cos^2 A = (3/2) + 1 = 5/2.
Таким образом, sin A = (3/2)^(1/2), а cos A = 1 / (5/2)^(1/2) = (2/5)^(1/2).
Другие тригонометрические функции:
tan A = sin A / cos A = ((3/2)^(1/2)) / ((2/5)^(1/2)).
cot A = 1 / tan A.
sec A = 1 / cos A.
csc A = 1 / sin A.

3) При условии cos A = 15/17:
Мы знаем, что sin^2 A + cos^2 A = 1.
Подставив значение, получаем sin^2 A + (15/17)^2 = 1.
Решив это уравнение, находим sin A = (8/17)^(1/2).
Другие тригонометрические функции:
tan A = sin A / cos A.
cot A = 1 / tan A.
sec A = 1 / cos A.
csc A = 1 / sin A.

Совет: для лучшего понимания тригонометрических функций, рекомендуется изучение прямоугольного треугольника и его соотношений с помощью теоремы Пифагора и отношений сторон.

Задание для закрепления: При условии sin B = 3/5, найдите значения остальных тригонометрических функций угла B.

Тема урока: Тригонометрические функции

Объяснение: Тригонометрические функции связаны с углами и сторонами треугольника. В данной задаче нам необходимо найти значения тригонометрических функций для заданных углов.

1) Задано, что tan A = 2. Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. Можем представить тангенс как отношение sin A к cos A, то есть tan A = sin A / cos A. Подставляя значение tan A = 2, получим уравнение: 2 = sin A / cos A. Решая это уравнение, получаем sin A = 2 и cos A = 1. Мы можем найти остальные тригонометрические функции, используя эту информацию:
- sec A = 1 / cos A = 1
- csc A = 1 / sin A = 1/2
- cot A = cos A / sin A = 1/2

2) Задано, что sin alpha = 3√2. Синус угла определяется как отношение противолежащей стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Подставив значение sin alpha = 3√2 в это определение, мы можем рассчитать другие тригонометрические функции:
- cos alpha = √(1 - sin^2 alpha) = √(1 - 9/4) = √(4/4 - 9/4) = √(-5/4) (неопределено)
- tan alpha = sin alpha / cos alpha = (3√2) / (√(-5/4)) (неопределено)
- sec alpha = 1 / cos alpha = 1 / √(-5/4) (неопределено)
- csc alpha = 1 / sin alpha = 1 / (3√2)
- cot alpha = cos alpha / sin alpha = (√(-5/4)) / (3√2) (неопределено)

3) Задано, что cos alpha = 15/17. Косинус угла определяется как отношение прилежащей стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Подставив значение cos alpha = 15/17 в это определение, мы можем найти остальные тригонометрические функции:
- sin alpha = √(1 - cos^2 alpha) = √(1 - (15/17)^2) = √(1 - 225/289) = √(289/289 - 225/289) = √(64/289) = 8/17
- tan alpha = sin alpha / cos alpha = (8/17) / (15/17) = 8/15
- sec alpha = 1 / cos alpha = 1 / (15/17) = 17/15
- csc alpha = 1 / sin alpha = 1 / (8/17) = 17/8
- cot alpha = cos alpha / sin alpha = (15/17) / (8/17) = 15/8

Пример:
1) Найти все значения тригонометрических функций для заданного угла A, если tan A = 2.
2) Определить значение sin alpha, cos alpha, tan alpha, sec alpha, csc alpha, cot alpha для заданного угла alpha, если sin alpha = 3√2.
3) Найти все значения тригонометрических функций для заданного угла alpha, если cos alpha = 15/17.

Совет: Чтобы лучше понять тригонометрические функции и их значений, рекомендуется изучить основные соотношения между ними, а также научиться решать уравнения и находить значения синуса, косинуса и тангенса для различных углов.

Дополнительное упражнение: Найдите значения тригонометрических функций для угла β, если sin β = 3/5.