Вариант 1 1. Как найти площадь поверхности тела, полученного при вращении правильного треугольника вокруг его стороны

Суть вопроса: Площадь поверхности тела при его вращении и площадь боковой поверхности усеченного конуса

Объяснение:

1. Чтобы найти площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника вокруг его стороны, используем формулу площади поверхности вращения: S = 2πrh, где r - радиус окружности, h - высота тела. Для правильного треугольника периметр равен сумме его сторон, то есть P = a + a + a = 3a, где a - длина стороны треугольника. Решая уравнение 3a = 36, получаем a = 12. Радиус r равен длине стороны треугольника, поэтому r = 12 / 3 = 4 см. Теперь, подставляя значения в формулу, получаем S = 2π * 4 * 4 = 32π см².

2. Для нахождения площади поверхности шара при известной площади сечения пользуемся формулой: S = 4πr², где r - радиус шара. Из условия известна площадь сечения плоскостью, равная 144π см², а значит 4πr² = 144π. Разделив обе части уравнения на 4π, получаем r² = 36. Извлекая квадратный корень, получаем r = 6 см. Теперь, подставляя значения радиуса в формулу, находим площадь поверхности шара: S = 4π * 6 * 6 = 144π см².

3. Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти с использованием формулы: S = π(R + r)l, где R - радиус большего основания, r - радиус меньшего основания, l - образующая усеченного конуса. Из условия известны диагональ осевого сечения, равная 10 см (он же l), радиус меньшего основания, равный 3 см (он же r). Для нахождения радиуса большего основания, пользуемся теоремой Пифагора: R² = (R - r)² + h², где h - высота усеченного конуса. В данном случае h = 6 см. Подставляя известные значения, решаем уравнение и находим R ≈ 7.93 см. Теперь, подставляя значения в формулу, находим S = π(7.93 + 3) * 10 ≈ 110.19 см².

Совет:

- При решении задач по площади поверхности и объему фигур, хорошо знать основные формулы и соотношения между сторонами и параметрами фигур.
- Помните, что в разных задачах понятия "большее" и "меньшее" основание могут использоваться в разном смысле, поэтому внимательно читайте условия задачи.

Задача для проверки:

Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении равностороннего треугольника со стороной 8 см вокруг своего радиуса поворота.

Суть вопроса: Площадь поверхности тела при вращении и площадь сечения шара

1. Площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника вокруг стороны:
Чтобы найти площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника вокруг его стороны, нужно использовать формулу, известную как формула вращения. Сначала найдем радиус окружности, которую образует вращающаяся сторона треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, поэтому периметр данного треугольника равен 36 см. Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны. Значит, каждая сторона треугольника равна 36/3 = 12 см. Радиус окружности равен половине длины стороны треугольника, то есть 12/2 = 6 см. Теперь можно применить формулу для вычисления площади поверхности: S = 2πrL, где S - площадь поверхности, r - радиус окружности, L - длина вращающейся стороны треугольника. Подставим значения: S = 2π * 6 * 12 = 144π см2.

2. Площадь поверхности шара и площадь сечения:
Для нахождения площади поверхности шара, если известна площадь сечения и расстояние от центра шара до плоскости сечения, используется следующая формула: S = 4πR^2, где S - площадь поверхности шара, R - радиус шара. По условию задачи, площадь сечения плоскостью равна 144π см2. Поэтому площадь поверхности шара равна S = 4πR^2 = 144π см2, откуда получаем R^2 = 144, и, следовательно, R = 12. Таким образом, площадь поверхности шара составляет S = 4π * 12^2 = 576π см2.

3. Площадь боковой поверхности усеченного конуса:
Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса, нам потребуется знание высоты (h), радиуса меньшего и большего основания (R и r соответственно) и диагонали осевого сечения (d). В данной задаче, d = 10 см, r = 3 см, h = 6 см. Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно вычислить по формуле: S = π (R + r) l, где l - образующая усеченного конуса, которая вычисляется по теореме Пифагора: l = √(h^2 + (R - r)^2). Подставим значения и вычислим площадь: l = √(6^2 + (3 - 3)^2) = 6 см, S = π * (3 + 3) * 6 = 36π см2.

4. Площадь боковой поверхности конуса, в который вписан шар:
Вписанный шар касается всех сторон конуса, поэтому его радиус равен радиусу основания конуса. Для нахождения площади боковой поверхности конуса, в который вписан шар, нужно знать его высоту и радиус. Так как по условию известна только площадь шара, невозможно найти площадь боковой поверхности конуса без дополнительной информации.

Ещё задача: Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении правильного пятиугольника вокруг одной из его сторон, если периметр пятиугольника составляет 50 см.