В 10-м классе. Из точки M, не принадлежащей плоскости прямого угла, проведены перпендикуляры MK и MF к его сторонам

Треугольник, образованный точкой M и точками K и F, является прямоугольным из-за перпендикуляров MK и MF к сторонам угла.

Мы знаем, что MK = MF = 8 см. Пусть H - точка пересечения MF с плоскостью угла. Расстояние от точки M до плоскости угла равно 2/7 (корень) см. Пусть D - точка пересечения MH с прямой, проходящей через вершину угла и перпендикулярной плоскости угла.

Очевидно, что треугольники MKD и MKF являются подобными, так как у них одинаковые углы при K и одинаковое отношение длины MK к длине MF.

Таким образом, мы можем записать отношение длин сторон в подобных треугольниках:
MK / MD = MK / MF

Подставляя известные значения, получим:
8 / MD = 8 / 8

Заметим, что MD = MH + HD. Тогда получим следующее:
8 / (MH + HD) = 8 / 8

Домножим обе стороны на (MH + HD):
8 = MH + HD

Теперь рассмотрим треугольники MHF и HFD. Они также являются подобными, так как у них одинаковые углы при H и одинаковое отношение длины MF к длине HD.

Отношение длин сторон в подобных треугольниках:
MF / HD = MH / FH

Подставляя известные значения, получим:
8 / HD = MH / FH

Формула косинусов для треугольника MHF:
(cos прямого угла) = (FH^2 + MF^2 - MH^2) / (2 * FH * MF)

Так как угол прямой, то cos прямого угла равен 0. Заменяем и решаем уравнение:
0 = FH^2 + 8^2 - MH^2

Учитывая то, что MH = 8 - HD, получим:
FH^2 = 64 - (8 - HD)^2

Раскрываем скобки:
FH^2 = 64 - (64 - 16HD + HD^2)

Упрощаем:
FH^2 = 16HD - HD^2

Теперь можем записать:
8 / HD = (8 - HD) / sqrt(16HD - HD^2)

Домножим обе стороны на HD:
8 = (8 - HD) * (HD / sqrt(16HD - HD^2))

Раскроем скобки и упростим:
8 = 8HD - HD^2

Упорядочим уравнение:
HD^2 - 8HD + 8 = 0

Для решение этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = (-8)^2 - 4(1)(8)
D = 64 - 32
D = 32

Решаем уравнение:
HD = (8 ± sqrt(32)) / 2
HD = (8 ± 4sqrt(2)) / 2
HD = 4 ± 2sqrt(2)

Расстояние от точки М до вершины угла равно MD + HD:
MD + HD = 8 + (4 ± 2sqrt(2))
MD + HD = 12 ± 2sqrt(2)

Итак, расстояние от точки М до вершины угла равно 12 ± 2sqrt(2) (см).