При каком значении k векторы m (4 14) и n (-7; k) становятся: 1) параллельными; 2) перпендикулярными?

Тема: Векторы в пространстве.

Разъяснение:

1) Векторы m (4, 14) и n (-7, k) будут параллельными, если они коллинеарны, то есть совпадают в направлении или противоположны друг другу. Для этого необходимо, чтобы их компоненты были пропорциональными.

Для определения значения k, при котором векторы становятся параллельными, нужно привести их компоненты к пропорциональному виду:


4/(-7) = 14/k


Получаем уравнение:


k = 14 * (-7)/4 = -98/4 = -49/2 = -24.5


Таким образом, векторы m (4, 14) и n (-7, -24.5) становятся параллельными при k = -24.5.

2) Векторы m (4, 14) и n (-7, k) будут перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов m и n можно рассчитать по формуле:

m · n = 4 * (-7) + 14 * k


Уравнение скалярного произведения:


-28 + 14k = 0


14k = 28


k = 28/14 = 2


Таким образом, векторы m (4, 14) и n (-7, 2) становятся перпендикулярными при k = 2.

Совет: Для более легкого понимания векторов и их свойств, рекомендуется изучение геометрического представления векторов и выполнение дополнительных практических заданий.

Дополнительное задание: Найдите значение k, при котором векторы a (3, -8) и b (5, k) становятся параллельными и перпендикулярными.

Тема вопроса: Параллельность и перпендикулярность векторов

Инструкция:
Чтобы определить, когда векторы становятся параллельными или перпендикулярными, нам нужно воспользоваться свойствами скалярного произведения и уравнением прямой.

1) Для того, чтобы векторы m(4, 14) и n(-7, k) были параллельными, нужно, чтобы их скалярное произведение равнялось 0:
(4 * -7) + (14 * k) = 0
-28 + 14k = 0
14k = 28
k = 2

Таким образом, векторы m(4, 14) и n(-7, 2) становятся параллельными при k = 2.

2) Для определения перпендикулярности векторов нам также необходимо использовать скалярное произведение. Для этого векторы должны образовывать прямую, перпендикулярную другой прямой, проходящей через начало координат.

Уравнение прямой проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂) задается следующим образом: x * x₁ + y * y₁ = 0.

Если векторы m(4, 14) и n(-7, k) перпендикулярны, то уравнение прямой, проходящей через начало координат и образованной этими векторами, будет иметь вид:
(4 * -7) + (14 * k) = 0

Подставим значения и решим уравнение:
-28 + 14k = 0
14k = 28
k = 2

Таким образом, векторы m(4, 14) и n(-7, 2) также становятся перпендикулярными при k = 2.

Совет:
Для лучшего понимания понятия параллельности и перпендикулярности векторов, рекомендуется изучить свойства скалярного произведения и уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Задача для проверки:
Определите, при каком значении k векторы m(3, 5) и n(-2, k) становятся параллельными и перпендикулярными.