Доказательство параллельности сторон четырехугольника
Нужно доказать, что у четырехугольника две параллельные стороны, если его средину стороны соединили с противоположными
Нужно доказать, что у четырехугольника две параллельные стороны, если его средину стороны соединили с противоположными вершинами и полученный треугольник составляет половину площади четырехугольника.
29.11.2023 22:02
Написать свой ответ:
Инструкция: Для доказательства, что у четырехугольника имеются две параллельные стороны, если его средину стороны соединили с противоположными вершинами и полученный треугольник составляет половину площади четырехугольника, мы можем использовать свойство пропорциональности площадей подобных фигур.
Рассмотрим четырехугольник ABCD, где AB и CD – противоположные стороны, а M и N – середины сторон AB и CD соответственно. Мы соединяем точки M и N, образуя треугольник MND.
По условию задачи площадь треугольника MND составляет половину площади четырехугольника ABCD. Это означает, что площадь треугольника MND равна половине произведения длин его стороны MN и высоты, проведенной к стороне AB или CD, так как базой треугольника MND является сторона AB или CD.
Таким образом, получаем равенство площадей:
Площадь четырехугольника ABCD = 2 * (Площадь треугольника MND).
Далее, используем основное свойство подобных фигур: отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату отношения длин соответствующих сторон. В нашем случае, сторона MN треугольника MND является средней линией четырехугольника ABCD, а сторона AB или CD является поперечной. Таким образом, получаем следующее равенство:
(AB/CD)^2 = 2.
Отсюда следует, что AB/CD = √2.
Таким образом, сторона AB параллельна стороне CD, так как их отношение длин равно √2.
Демонстрация: Пусть в четырехугольнике ABCD длина стороны AB равна 6 см, а длина стороны CD равна 3√2 см. Докажите, что стороны AB и CD параллельны.
Совет: Для более понятного понимания доказательства, вы можете нарисовать четырехугольник ABCD и визуализировать его срединные точки M и N, а также треугольник MND.
Задача на проверку: В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны. Известно, что сторона AB равна 8 см. Найдите длину стороны CD, если треугольник MND, образованный средней линией четырехугольника ABCD, составляет 1/3 площади ABCD.