Необходимо доказать, что плоскости aa1c1 и mhp являются взаимно перпендикулярными

Тема занятия: Доказательство взаимной перпендикулярности плоскостей

Объяснение: Для того чтобы доказать, что плоскости aa1c1 и mhp являются взаимно перпендикулярными, мы должны проверить, выполняется ли следующее условие: вектор нормали к плоскости aa1c1 должен быть перпендикулярен вектору нормали к плоскости mhp.

Плоскость aa1c1 определяется тремя неколлинеарными точками: a, a1 и c1. Вектор нормали к плоскости aa1c1 можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости, например, вектора a1a1 и a1c1. Если полученный вектор нормали обозначим как n1, то его координаты можно найти следующим образом:

n1 = (a1a1 x a1c1) / |a1a1 x a1c1|

Аналогично, для плоскости mhp, нужно найти вектор нормали, обозначим его как n2:

n2 = (mh x mp) / |mh x mp|

Теперь, чтобы проверить перпендикулярность плоскостей, необходимо убедиться в том, что скалярное произведение векторов n1 и n2 равно нулю:

n1 • n2 = 0

Если это равенство выполняется, то плоскости aa1c1 и mhp являются взаимно перпендикулярными.

Демонстрация:
Даны следующие координаты точек:
a(1, 2, 3), a1(4, 5, 6), c1(7, 8, 9), m(10, 11, 12), h(13, 14, 15), p(16, 17, 18).

Чтобы доказать перпендикулярность плоскостей aa1c1 и mhp, необходимо вычислить векторы нормали и проверить их перпендикулярность.

Сначала находим вектор нормали для плоскости aa1c1:
a1a1 = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)
a1c1 = (7-4, 8-5, 9-6) = (3, 3, 3)
n1 = (3, 3, 3) x (3, 3, 3) = (0, 0, 0)

Затем находим вектор нормали для плоскости mhp:
mh = (10-13, 11-14, 12-15) = (-3, -3, -3)
mp = (16-13, 17-14, 18-15) = (3, 3, 3)
n2 = (-3, -3, -3) x (3, 3, 3) = (0, 0, 0)

Поскольку скалярное произведение векторов n1 и n2 равно нулю, можно сделать вывод, что плоскости aa1c1 и mhp являются взаимно перпендикулярными.

Совет:
Чтобы лучше понять концепцию перпендикулярности плоскостей, полезно вспомнить, что векторное произведение двух векторов даёт вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам. Также имейте в виду, что для проверки перпендикулярности плоскостей важно рассчитать вектор нормали для каждой плоскости и проверить их скалярное произведение.

Задача для проверки:
Даны три точки для плоскости aa1c1: a(1, 3, -2), a1(-2, -1, 4), c1(3, 2, -1).
Также даны точки для плоскости mhp: m(5, 2, 1), h(6, 3, -2), p(7, -1, 3).
Проверьте, являются ли плоскости aa1c1 и mhp взаимно перпендикулярными.