1. Какова площадь боковой поверхности цилиндра, если угол между образующей и диагональю осевого сечения равен

Тема занятия: Геометрия. Площадь боковой поверхности цилиндра и объем конуса

Разъяснение:

1. Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нужно знать длину образующей и площадь основания. Дано, что угол между образующей и диагональю осевого сечения равен 45 градусов, а площадь основания равна 16 квадратным сантиметрам. Найдем длину образующей, используя теорему Пифагора.

Для этого мы можем использовать теорему Пифагора на следующий образ:
a^2 + b^2 = c^2,

где a - радиус основания цилиндра, b - половина диагонали осевого сечения, c - образующая.

По условию, площадь основания равна 16 квадратным сантиметрам:
S_осн = π * a^2 = 16.

Так как угол между образующей и диагональю осевого сечения равен 45 градусов, то b = a * sin(45) = (sqrt(2)/2) * a.

Теперь подставим b в уравнение Пифагора и решим его относительно c:
a^2 + (sqrt(2)/2)^2 * a^2 = c^2,
a^2*(1 + 1/2) = c^2,
a^2 * 3/2 = c^2,
a^2 = 2/3 * c^2.

Затем найдем значение c:
c = sqrt(3/2) * a = sqrt(3/2) * sqrt(2/3) * c = sqrt(3).

У нас есть значение c, поэтому мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:
S_бок = 2π * a * c = 2π * 4 * sqrt(3).

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна 8π * sqrt(3) квадратным сантиметрам.

2. Чтобы найти объем конуса, нужно знать диаметр основания и высоту конуса. Дано, что диаметр основания равен 18 сантиметров, а высота равна 2/3 диаметра.

Радиус основания конуса равен половине диаметра, то есть r = 18/2 = 9 см. Высота конуса равна 2/3 диаметра, то есть h = (2/3) * 18 = 12 см.

Формула для объема конуса такова:
V = (1/3) * π * r^2 * h.

Подставим значения и рассчитаем объем:
V = (1/3) * π * 9^2 * 12.

Упростим:
V = 3 * π * 81 * 4,
V = 972π.

Таким образом, объем конуса равен 972π кубическим сантиметрам.

Совет:

При решении геометрических задач всегда используйте высшую математику и формулы, которые уже существуют.

Дополнительное задание:

1. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если угол между образующей и диагональю осевого сечения равен 30 градусам, а площадь основания цилиндра равна 25 квадратным сантиметрам.

2. Найдите объем конуса с диаметром основания 12 сантиметров и высотой, равной 3/4 диаметра.