Найти радиус окружности, описанной около треугольника АВС с углами А = 75° и С = 60°, если он равен

Предмет вопроса: Радиус окружности, описанной около треугольника

Инструкция:

Радиус окружности, описанной около треугольника, является расстоянием от центра окружности до любой из его вершин. Чтобы найти радиус такой окружности, мы можем использовать геометрические свойства треугольника.

В данной задаче дано значение одного из углов треугольника АВС: А = 75° и С = 60°. Найдем третий угол простым вычетом из суммы углов треугольника (180°): 180° - (75° + 60°) = 45°.

Затем, рассмотрим треугольник АВС и его радиус R. Мы можем построить биссектрису угла АС, которая разделит угол АС на два равных угла. Таким образом, мы получим прямоугольный треугольник АСD, где угол АСD = 22.5° (половина угла АС).

Теперь, с помощью тригонометрии, можем использовать тангенс угла АСD, чтобы найти отношение AD к CD: tan(22.5°) = AD / CD. Так как CD равен радиусу R, мы получаем: tan(22.5°) = AD / R.

Воспользуемся тригонометрической теоремой тангенса: tan(22.5°) = (AD / R) = (√2 - 1) / (√2 + 1).

Теперь можно выразить AD через R: AD = (√2 - 1) / (√2 + 1) * R.

Используя тот факт, что треугольник АСD - прямоугольный, и применяя теорему Пифагора, можем найти АС: AS² = AD² + CD². Подставим AD и CD: AS² = ((√2 - 1)R / (√2 + 1))² + R².

Упростив данное уравнение и раскрыв скобки, получим: AS² = (3 - 2√2)R².

Наконец, найдем АС, взяв квадратный корень из обеих сторон уравнения: AS = √(3 - 2√2)R.

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен R = AS / √(3 - 2√2).

Например:

У нас дан треугольник АВС с углами А = 75° и С = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Совет:

Чтобы лучше понять данную тему, рекомендуется ознакомиться с основными геометрическими свойствами треугольников и тригонометрией. Важно также уметь использовать формулу тангенса и знать, как решать уравнения с неизвестными в числовом выражении.

Дополнительное упражнение:

Найти радиус окружности, описанной около треугольника PQR, если углы P и R равны 45°, а сторона QR равна 6 см.