Найдите расстояние между точкой А(8;20;-11) и плоскостью, заданной точкой В(4,2;1;12

Расстояние между точкой и плоскостью

Пояснение: Для решения этой задачи, сначала нам нужно найти уравнение плоскости, а затем использовать формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.

1. Найдите векторное уравнение плоскости, используя заданные точки. Мы знаем, что вектор, перпендикулярный плоскости, будет параллелен нормальному вектору плоскости.

Для этого найдем нормальный вектор плоскости AB, используя точки A(8;20;-11) и B(4,2;1;12). Вычислим разность между координатами точек B и A:

AB = B - A = (4-8, 2-20, 1-(-11)) = (-4, -18, 12)

Теперь вектор AB является нормальным вектором плоскости.

2. Уравнение плоскости векторного типа может быть выражено как:

AX + BY + CZ = D,

где (X, Y, Z) - произвольная точка на плоскости, а (A, B, C) - нормальный вектор плоскости (координаты AB), D - свободный член.

3. Подставим координаты из точки A в уравнение плоскости:

(-4)x + (-18)y + 12z = D

4. Чтобы найти D, используем координаты точки A:

(-4)(8) + (-18)(20) + 12(-11) = D

D = -32 - 360 - 132 = -524

Таким образом, уравнение плоскости:

-4x - 18y + 12z = -524

5. Теперь, чтобы найти расстояние между точкой A и плоскостью, используем формулу:

distance = |AX + BY + CZ - D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Подставляем значения:

distance = |(-4)(8) + (-18)(20) + 12(-11) - (-524)| / sqrt((-4)^2 + (-18)^2 + 12^2)

distance = 52 / sqrt(16 + 324 + 144)

distance = 52 / sqrt(484)

distance = 52 / 22

distance = 2.36

Совет: Для лучшего понимания задачи, рекомендуется визуализировать точку А и плоскость в трехмерном пространстве. Это поможет вам представить, как точка расположена относительно плоскости и почему мы используем нормальный вектор для нахождения расстояния.

Задание для закрепления: Найдите расстояние между точкой С(2;0;5) и плоскостью, заданной точкой D(-1,3;4;-2) и нормальным вектором (2,-1,3).