Найдите расстояние между центрами сфер, имеющих уравнения x2 + y2 + z2 +6x-2y-4z=5 и x2 +y2+z2-2x-6y+4z=11(разверните

Название: Расстояние между центрами сфер

Объяснение: Чтобы найти расстояние между центрами двух сфер, нужно сначала определить координаты центров этих сфер. Для этого заданные уравнения нужно привести к каноническому виду уравнений сферы.

Уравнение сферы имеет вид (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r², где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

Раскрыв скобки в каждом уравнении, мы получим:

1) x² + y² + z² + 6x - 2y - 4z = 5
(x + 3)² - 9 + (y - 1)² + 1 - (z + 2)² - 4 = 5
(x + 3)² + (y - 1)² - (z + 2)² = 18

2) x² + y² + z² - 2x - 6y + 4z = 11
(x - 1)² - 1 + (y - 3)² - 9 + (z + 2)² - 4 = 11
(x - 1)² + (y - 3)² + (z + 2)² = 25

Таким образом, мы получили канонические уравнения сфер. Из них можно определить координаты центров сфер и радиусы:

1) Центр сферы 1: (-3, 1, -2)
Радиус сферы 1: sqrt(18) = 3 * sqrt(2)

2) Центр сферы 2: (1, 3, -2)
Радиус сферы 2: sqrt(25) = 5

Теперь, чтобы найти расстояние между центрами этих сфер, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Подставляя значения координат центров сфер:
d = sqrt((-3 - 1)² + (1 - 3)² + (-2 + 2)²)
d = sqrt((-4)² + (-2)²) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20) = 2 * sqrt(5)

Таким образом, расстояние между центрами сфер равно 2 * sqrt(5).

Демонстрация:
Задача: Найдите расстояние между центрами сфер, имеющих уравнения x² + y² + z² + 4x - 2y - 6z = 8 и x² + y² + z² + 2x - 4y + 6z = 17.

Совет: При решении таких задач всегда приводите уравнения сфер к каноническому виду, чтобы определить центры и радиусы. Используйте формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве для нахождения расстояния между центрами сфер.

Дополнительное упражнение: Найдите расстояние между центрами сфер, заданных уравнениями x² + y² + z² + 3x + 2y - z = 10 и x² + y² + z² + 2x - 4y + 8z = 5.