Найдите cos² B для треугольника ABC, где ∠C = 90° и sinB = 46 - √105

Тема занятия: Вычисление косинуса квадрата угла в прямоугольном треугольнике

Разъяснение:

Для решения задачи нам понадобится использовать соотношение между синусом и косинусом в прямоугольном треугольнике.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с углом C = 90°, синус угла B можно найти по формуле: sinB = противолежащая сторона / гипотенуза.

В данной задаче нам дано значение sinB = 46 - √105. Мы можем использовать это значение для вычисления противолежащей стороны треугольника.

Теперь, чтобы найти cos² B, мы можем использовать теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, можем записать: cos² B = 1 - sin² B, где sin²B - это значение, которое мы найдем из синуса угла B.

Давайте приступим к решению задачи.

Доп. материал:
Дано sinB = 46 - √105
Найдем sin² B: sin² B = (46 - √105)²

Далее используем соотношение: cos² B = 1 - sin² B
cos² B = 1 - (46 - √105)²

Вычислив эту формулу, мы получим значение cos² B.

Совет:
Для лучшего понимания этой темы рекомендуется разобраться в основных понятиях тригонометрии и теореме Пифагора. Полезно также знать значения синусов и косинусов основных углов (30°, 45°, 60°) наизусть, так как они часто используются в подобных задачах.

Упражнение:
Найдите значение cos² A для прямоугольного треугольника ABC, где угол B = 45° и гипотенуза равна 5.

Треугольник ABC с углом C, равным 90°, является прямоугольным треугольником, где гипотенуза равна стороне C, а противоположные катеты - стороны A и B. Мы хотим найти cos² B.

Сначала мы можем использовать известное тождество гиперболического синуса:
sin²B + cos²B = 1.
Известно, что sinB = 46 - √105, поэтому мы можем записать:
(46 - √105)² + cos²B = 1.

Далее раскроем квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
(46 - √105)² = (46 - √105)(46 - √105)
= 46² - 46√105 - 46√105 + √105²
= 2116 - 2 * 46 * √105 + 105

Теперь заменим обратно в наше уравнение:
2116 - 2 * 46 * √105 + 105 + cos²B = 1.

Сгруппируем похожие слагаемые:
2221 - 2 * 46 * √105 + cos²B = 1.

Перенесем несвязанный член на другую сторону:
cos²B = 1 - 2221 + 2 * 46 * √105.

Выполним арифметические операции:
cos²B = -2220 + 2 * 46 * √105.

Таким образом, cos² B равно -2220 + 2 * 46 * √105.

Демонстрация: Найдите cos² B для треугольника ABC, где ∠C = 90° и sinB = 46 - √105.

Совет: Чтобы лучше понять тему тригонометрии, обратите внимание на геометрическую интерпретацию углов и соотношений между сторонами треугольника.

Дополнительное упражнение: Решите уравнение sin²X + cos²X = 1 при условии, что X = 30°. Найдите значение cosX.