Какой угол образуют векторы AB и CA в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC? Какое произведение имеют векторы

Тема занятия: Угол между векторами в равнобедренном прямоугольном треугольнике

Инструкция: Векторы образованы двумя точками, и их направление определяется разностью координат точек. Для решения этой задачи давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AC является гипотенузой, а AB и BC - катетами. Поскольку треугольник является равнобедренным, длины катетов AB и BC равны.

Чтобы найти угол между векторами AB и CA, мы можем использовать свойство скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов AB и CA равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Мы можем записать это как:

AB · CA = |AB| * |CA| * cos(θ)

Где θ - это угол между векторами AB и CA. Также, поскольку треугольник ABC является прямоугольным, у нас есть следующее соотношение:

AC^2 = AB^2 + BC^2

Для равнобедренного треугольника AB = BC, поэтому мы можем записать это как:

AC^2 = AB^2 + AB^2 = 2 * AB^2

Значит, AB = AC / √2.

Теперь мы можем заменить это в формулу скалярного произведения:

AB · CA = (AC / √2) * AC * cos(θ)

Мы знаем, что |AB| = AC / √2, поэтому:

AB · CA = |AB| * |CA| * cos(θ) = (AC / √2) * AC * cos(θ)

Теперь мы можем решить это уравнение для нахождения значения косинуса угла θ:

AC * cos(θ) = (AC / √2) * AC * cos(θ)

cos(θ) = 1 / √2

θ = arccos(1 / √2)

Ответ: Угол между векторами AB и CA в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC равен arccos(1 / √2) или приближенно 45 градусов.

Совет: Для лучшего понимания этой задачи, вспомните свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников, а также свойства скалярного произведения векторов.

Практика: Найдите угол между векторами AB и BC в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC, если длина AB равна 5 и длина AC равна 7.