Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в него, составляет 2 см, а медиана

Тема урока: Длины катетов прямоугольного треугольника с вписанной окружностью и заданной медианой на гипотенузу.

Объяснение: Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся свойствами вписанной окружности и медианы на гипотенузу прямоугольного треугольника. По определению вписанной окружности, сумма длин катетов равна разности длины гипотенузы и удвоенного радиуса окружности.

Пусть x - длина одного катета, а y - длина другого катета. Тогда по теореме Пифагора имеем:

x^2 + y^2 = (x+y)^2/4.

Также, согласно свойствам медианы на гипотенузу, сумма квадратов длин катетов равна четырем третям квадрата длины медианы.

x^2 + y^2 = (3/4)*(2x)^2.

Решая эти два уравнения, мы можем найти значения x и y.

Пример: Пусть медиана на гипотенузу равна 8 см. Найдите длины катетов прямоугольного треугольника.

Решение:
Используем второе уравнение:
x^2 + y^2 = (3/4)*(2x)^2.
x^2 + y^2 = (3/4)*(4x^2).
x^2 + y^2 = 3x^2.
y^2 = 2x^2.
y = √(2x^2).

Теперь используем первое уравнение:
x^2 + (√(2x^2))^2 = (x + √(2x^2))^2/4.
x^2 + 2x^2 = (x + √(2x^2))^2/4.
3x^2 = (x + √(2x^2))^2/4.
12x^2 = (x + √(2x^2))^2.
√(12x^2) = x + √(2x^2).
√(12)√(x^2) = x + √(2)x.
√(12)x = x + √(2)x.
√(12)x - √(2)x = x.
x(√(12) - √(2) - 1) = 0.

Таким образом, получаем x = 0 (неустойчивое решение) или (√(12) - √(2) - 1) = 0.
x = (√(12) - √(2) - 1) см.
y = √(2(√(12) - √(2) - 1)^2) см.

Совет: Чтобы более легко решить эту задачу, вам потребуется знание теоремы Пифагора и свойств вписанной окружности. Также важно аккуратно работать с алгебраическими уравнениями и не забывать проверить полученные решения.

Задача для проверки: Пусть медиана на гипотенузу прямоугольного треугольника равна 6 см. Найдите длины катетов этого треугольника.