Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если его площадь равна 24, а тангенс одного из углов равен 1/3?

Предмет вопроса: Теорема Пифагора и тангенс прямоугольного треугольника

Инструкция: Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать два ключевых понятия: теорему Пифагора и тангенс прямоугольного треугольника.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой (самая длинная сторона) c и катетами (другие две стороны) a и b справедливо следующее равенство: c² = a² + b².

Также известно, что тангенс угла прямоугольного треугольника можно найти как отношение длины противоположенного катета к длине прилежащего катета: tg(α) = a / b.

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна 24. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как половину произведения длин катетов: S = (a * b) / 2.

Теперь, чтобы найти длины катетов, мы сначала должны решить уравнение для площади и затем использовать тангенс, чтобы определить, какой катет является меньшим.

Демонстрация:
Дано: S = 24, tg(α) = 1/3.

Требуется: Найти длину меньшего катета.

Шаги решения:
1. Используем теорему Пифагора: c² = a² + b².
2. Подставляем известные значения: a² + b² = c².
3. Используем площадь для нахождения уравнения: (a * b) / 2 = 24.
4. Выразим a из уравнения площади: a = (48 / b).
5. Подставляем a в уравнение Пифагора: (48 / b)² + b² = c².
6. Заменяем tg(α) как a / b: (48 / b) / b = 1/3.
7. Решаем уравнение (48 / b) / b = 1/3, чтобы найти значение b.
8. Подставляем найденное значение b в уравнение Пифагора для нахождения c.
9. Устанавливаем, какой из катетов более короткий, сравнивая их длины.

Совет: Чтобы более легко понять и применить этот метод, полезно вспомнить основные понятия теоремы Пифагора и тангенса прямоугольного треугольника. Также, важно выполнять все шаги решения последовательно и точно.

Проверочное упражнение: Площадь прямоугольного треугольника равна 48. Тангенс одного из его углов равен 3/4. Найдите длину меньшего катета этого треугольника.